Responde V o F junto a cada proposición sobre el teorema de Pitágoras.

a) F, b) V, c) V, d) F, e) V, f) F, g) V, h) F

Copia los tres triángulos de las figuras y traza una altura en cada uno para obtener dos triángulos rectángulos.

Tres alturas perpendiculares correctamente trazadas

Dibuja el triángulo mostrado e identifica sus elementos.

Dos catetos, una hipotenusa, un ángulo recto y dos ángulos agudos

Calcula los lados o segmentos desconocidos en los tres triángulos rectángulos.

a) h=18 cm, b=122 cm, z=42 cm; b) x=9 m, y=16 m, z=12 m; c) a=16 dm, a'=12,8 dm, b'=7,2 dm

Libro de Matemática 8 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Evaluación formativa: teorema de Pitágoras

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 8° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) F, b) V, c) V, d) F, e) V, f) F, g) V, h) F.
Cateto 1: $8$ ; $(\text{Cateto 1})^2=64$ ; Cateto 2: $6$ ; $(\text{Cateto 2})^2=36$ ; hipotenusa: $10$ ; hipotenusa $^2=100$ .
a) $h=\sqrt{a^2+b^2}$ ; b) $a=\sqrt{h^2-b^2}$ .
a) Hipotenusa: $18\text{ cm}$ ; otro cateto: $12\sqrt{2}\text{ cm}\approx16,97\text{ cm}$ ; altura: $4\sqrt{2}\text{ cm}\approx5,66\text{ cm}$ . b) $x=9\text{ m}$ , $y=16\text{ m}$ , $z=12\text{ m}$ . c) $a=16\text{ dm}$ , $a'=12,8\text{ dm}$ , $b'=7,2\text{ dm}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 194

Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 1

Verdadero o falso

a) Falso. El teorema de Pitágoras se aplica únicamente en triángulos rectángulos.
b) Verdadero. La hipotenusa se obtiene mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos.
c) Verdadero. Los catetos forman el ángulo recto.
d) Falso. La raíz cuadrada no siempre produce un número entero.
e) Verdadero. Para calcular un cateto se resta el cuadrado del otro cateto al cuadrado de la hipotenusa.
f) Falso. Si los ángulos agudos miden $30^\circ$ y $40^\circ$ , el tercer ángulo mide $110^\circ$ ; no es un triángulo rectángulo.
g) Verdadero. Se puede trazar una altura que divida el triángulo en dos triángulos rectángulos, considerando también la prolongación de un lado cuando sea necesario.
h) Falso. La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejercicio 2

Trazado de alturas

En cada triángulo se traza una recta perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto o hasta su prolongación. La altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo de la figura a), la altura se traza desde el vértice superior hacia la base. En las figuras b) y c), se elige un vértice y se traza la perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Ejercicio 3

Elementos del triángulo

El triángulo mostrado es rectángulo. Sus elementos son dos catetos, que forman el ángulo recto; la hipotenusa, que es el lado opuesto al ángulo recto y el de mayor longitud; un ángulo recto de $90^\circ$ y dos ángulos agudos.

Ejercicio 4

Tabla del triángulo

Los catetos miden $8$ y $6$ , y la hipotenusa mide $10$ . Por tanto:

$8^2=64$

$6^2=36$

$10^2=100$

Además, se verifica que $64+36=100$ .

Ejercicio 5

Fórmulas

Para hallar la hipotenusa:

$h=\sqrt{a^2+b^2}$

Para hallar un cateto:

$a=\sqrt{h^2-b^2}$

Ejercicio 6

Cálculo de lados

Parte 6.a

El cateto mide $6\text{ cm}$ y su proyección sobre la hipotenusa mide $2\text{ cm}$ . Aplicamos el teorema del cateto:

$6^2=h\cdot 2$

$36=2h$

$h=18\text{ cm}$

La otra proyección mide:

$q=18-2=16\text{ cm}$

El otro cateto es:

$b=\sqrt{18\cdot16}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\text{ cm}\approx16,97\text{ cm}$

La altura sobre la hipotenusa es:

$z=\sqrt{2\cdot16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ cm}\approx5,66\text{ cm}$

Parte 6.b

Los catetos miden $20\text{ m}$ y $15\text{ m}$ . Primero calculamos la hipotenusa:

$h=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\text{ m}$

La proyección correspondiente al cateto de $20\text{ m}$ es:

$y=\frac{20^2}{25}=\frac{400}{25}=16\text{ m}$

La otra proyección es:

$x=25-16=9\text{ m}$

La altura sobre la hipotenusa es:

$z=\frac{20\cdot15}{25}=12\text{ m}$

Parte 6.c

La hipotenusa mide $20\text{ dm}$ y un cateto mide $12\text{ dm}$ . El otro cateto es:

$a=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16\text{ dm}$

Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son:

$a'=\frac{16^2}{20}=\frac{256}{20}=12,8\text{ dm}$

$b'=\frac{12^2}{20}=\frac{144}{20}=7,2\text{ dm}$

Se verifica que $a'+b'=12,8+7,2=20\text{ dm}$ .

Contenido de la página

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$h^2=a^2+b^2$

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Para calcularla se usa $h=\sqrt{a^2+b^2}$ . Para calcular un cateto se usa $a=\sqrt{h^2-b^2}$ .

Cuando se traza la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, esta queda dividida en dos proyecciones. Se cumplen las relaciones $a^2=hp$ , $b^2=hq$ y $z^2=pq$ .

Ejemplos resueltos

Un triángulo rectángulo tiene catetos de $6$ y $8$ . ¿Cuánto mide la hipotenusa?

$h=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .

Tabla

Elemento	Medida	Cuadrado
Cateto 1	$8$	$64$
Cateto 2	$6$	$36$
Hipotenusa	$10$	$100$

Fórmulas y ecuaciones

$h=\sqrt{a^2+b^2}$

$a=\sqrt{h^2-b^2}$

$z=\sqrt{pq}$

$h^2=a^2+b^2$

h= $\sqrt{a^2+b^2}$

a= $\sqrt{h^2-b^2}$

$a^2=hp$

$b^2=hq$

$z^2=pq$

Glosario (4)

Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto y de mayor longitud en un triángulo rectángulo.
Proyección: Segmento en que la altura divide a la hipotenusa.
Altura: Segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolongación.

Preguntas para practicar

¿Por qué el teorema de Pitágoras solo se puede aplicar directamente en un triángulo rectángulo?

Temas y conceptos clave

Teorema de PitágorasElementos del triángulo rectánguloAlturas en triángulosProyecciones de los catetosTeoremas del cateto y de la alturaCatetoHipotenusaÁngulo rectoAlturaProyecciónRaíz cuadrada

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Figuras de la página (7)

Triángulo rectángulo verde con catetos de longitudes $8$ y $6$, e hipotenusa de longitud $10$. — Figura 1 image

Ejercicios gráficos sobre proyecciones y altura relativa a la hipotenusa. — Figura 2 image

Triángulo rectángulo azul cuyos catetos son vertical y horizontal, y cuya hipotenusa es el lado inclinado. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025 — Figura 5 image

Figura 6 de Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025 — Figura 6 image

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo?

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¿Cómo se halla un cateto usando el teorema de Pitágoras?

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¿Cómo se calculan las proyecciones y la altura sobre la hipotenusa?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer triángulos rectángulos, catetos e hipotenusa
• Calcular potencias y raíces cuadradas
• Resolver ecuaciones sencillas
• Aplicar operaciones con unidades de longitud

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones del teorema de Pitágoras y resolución de problemas geométricos

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Taller

1,1M.4.6.,1.

Responde V (verdadero) o F (falso) junto a cada: proposición. i a) El teorema de Pitágoras se aplica en todo tipo de triángulos. Para hallar la hipotenusa, dentro de la raíz va la suma.

Los catetos siempre forman un ángulo recto entre ellos.

b) c) d) Al obtener la raíz cuadrada, siempre resulta : un número entero. i Para hallar un cateto, dentro de la raiz va la E resta, i Si los ángulos agudos de un triángulo son 30° E y 40°, se puede aplicar el teorema de Pitágoras. : Si el triángulo no es un triángulo rectángulo, E se puede trazar una altura para dividirlo en : dos triángulos rectángulos. :

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es: igual a la suma de los cuadrados de los catetos. :

e) f)

Copia en tu cuaderno los siguientes triángulos E

y traza la altura en cada triángulo para obtener : dos triángulos rectángulos.

2 En tu cuaderno b) > c) a, Dibuja el triángulo en tu cuaderno e identifica :

sus elementos. i

Evaluacion formativa

Observa el gráfico y completa en tu cuaderno la tabla con las medidas del triángulo.

Cateto 1 (Cateto 1)? Cateto 2 (Cateto 2)?

Hipotenusa

Hipotenusa?

Completa las siguientes afirmaciones.

a) Para encontrar el valor de la hipotenusa, es necesario utilizar la fórmula:

b) Para encontrar el valor de un cateto, es nece- sario utilizar la fórmula:

: 6, Calcula el lado que falta en cada triángulo rec-

tangulo.

a) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 2 cm. Determina los otros dos lados y la altura sobre la hipotenusa.

A 6cm y

€ 2cm D x E

Determina los valores de x, y, z, en el siguien- te triángulo.

15m

guiente triángulo.

a 12 dm

by 20 dm

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