Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple:

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.

Con a=6 y b=8:

c^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100

Por tanto:

c=\sqrt{100}=10

Se comprueba que los lados forman un triángulo rectángulo de medidas 6, 8 y 10 unidades.

Se usa c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} o, cuando falta un cateto, a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}.

a) Los catetos miden 7 cm y 2 cm:

c=\sqrt{7^{2}+2^{2}}=\sqrt{53}\approx 7{,}28\text{ cm}

b) Los catetos miden 12 cm y 16 cm:

c=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{400}=20\text{ cm}

c) La hipotenusa mide 13 cm y un cateto mide 12 cm:

a=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{25}=5\text{ cm}

d) Los catetos miden 5 cm y 3 cm:

c=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}\approx 5{,}83\text{ cm}

a)

c=\sqrt{25^{2}+22^{2}}=\sqrt{1109}\approx 33{,}30\text{ m}

b)

a=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=\sqrt{225}=15\text{ cm}

c)

a=\sqrt{24^{2}-7^{2}}=\sqrt{527}\approx 22{,}96\text{ cm}

d)

c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10\text{ cm}

a) La diagonal del rectángulo es la hipotenusa:

d=\sqrt{15^{2}+25^{2}}=\sqrt{850}=5\sqrt{34}\approx 29{,}15\text{ m}

b) La escalera es la hipotenusa:

h=\sqrt{14^{2}-6^{2}}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\approx 12{,}65\text{ m}

La escalera alcanza aproximadamente 12{,}65 m de altura.

d=\sqrt{45^{2}+65^{2}}=\sqrt{6250}=25\sqrt{10}\approx 79{,}06\text{ hm}

El camino medirá aproximadamente 79{,}06 hm, es decir, cerca de 7{,}91 km. Se recomienda no iniciar inmediatamente la obra sin analizar el presupuesto, los permisos, el impacto ambiental, el clima y la disponibilidad de materiales. La decisión más responsable es realizar primero un estudio técnico y económico.

La caja tiene dimensiones de 12 cm, 8 cm y una diagonal espacial de 13 cm. Primero se calcula la altura h:

13^{2}=12^{2}+8^{2}+h^{2}

h^{2}=169-144-64=9

h=3\text{ cm}

El área total de la caja es:

A=2(lw+lh+wh)

A=2(12\cdot8+12\cdot3+8\cdot3)=2(96+36+24)=312\text{ cm}^{2}

Se necesitan como mínimo 312\text{ cm}^{2} de papel, sin considerar pestañas ni desperdicio.

El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la altura que alcanza una escalera apoyada en una pared. Por ejemplo, una escalera de 5 m cuyo pie está a 3 m de la pared alcanza:

h=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4\text{ m}