Homotecia
Una homotecia es una transformación geométrica con centro O y razón k. A cada punto P le corresponde un punto P' alineado con O y P, de modo que:
k=\frac{OP'}{OP}
Por tanto:
OP'=|k|\times OP
La homotecia conserva los ángulos, el sentido de las figuras y la proporcionalidad entre sus lados. Por eso, la figura original y su imagen son semejantes.
Casos según la razón
- Si k>0, el punto P' se ubica en el mismo rayo que parte de O hacia P.
- Si k<0, el punto P' se ubica en el rayo opuesto.
- Si |k|>1, la figura es una ampliación.
- Si |k|<1, la figura es una reducción.
- Si k=1, cada punto permanece en el mismo lugar; es la transformación identidad.
- Si k=-1, se obtiene una simetría central.
- El centro O permanece fijo, pues su imagen es el mismo punto O.
Ejemplo 1
Se construye un triángulo equilátero de lado 1\,\text{cm} y se aplica una homotecia de centro O.
Razón $k=3$
Cada distancia y cada lado se multiplica por 3:
1\,\text{cm}\times 3=3\,\text{cm}
Como |k|=3>1, se obtiene una ampliación. El triángulo imagen A'B'C' es equilátero y sus lados miden 3\,\text{cm}.
Razón $k=0{,}5$
Cada distancia y cada lado se multiplica por 0{,}5:
1\,\text{cm}\times 0{,}5=0{,}5\,\text{cm}
Como |k|=0{,}5<1, se obtiene una reducción. El triángulo imagen A'B'C' es equilátero y sus lados miden 0{,}5\,\text{cm}.
Para construir cada imagen se trazan semirrectas desde O que pasan por los vértices del triángulo y se ubican los puntos imagen respetando la razón indicada.
