Dados A=\1,2,3,4\, B=\2,4,6\, C=\5,7,9,11,14\ y D=\5,6,7,9\, resuelve los literales a) hasta h): determina relaciones, dominio, recorrido y representaciones.

R_a=\(1,2),(2,4),(3,6)\, R_c=\(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)\, R_f=\(2,5),(4,6),(6,7)\

Libro de Matemática 8 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Relaciones, dominio y recorrido

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Respuesta rápida

4a) $R=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$ ; $Dom(R)=\{1,2,3\}$ ; $Rec(R)=\{2,4,6\}$ . 4b) $1\to2$ , $2\to4$ , $3\to6$ . 4c) $R=\{(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)\}$ ; $Dom(R)=\{1,2,3,4\}$ ; $Rec(R)=\{5,7,9,11\}$ . 4d) $1\to5$ , $2\to7$ , $3\to9$ , $4\to11$ . 4e) Puntos: $(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)$ . 4f) $R=\{(2,5),(4,6),(6,7)\}$ ; $Dom(R)=\{2,4,6\}$ ; $Rec(R)=\{5,6,7\}$ . 4g) $2\to5$ , $4\to6$ , $6\to7$ . 4h) Puntos: $(2,5),(4,6),(6,7)$ . 5) Respuesta abierta; se muestra un ejemplo. 6) Una función asigna exactamente un valor a cada elemento del dominio.

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Solución — Página 227

Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 4

Dados $A=\{1,2,3,4\}$ , $B=\{2,4,6\}$ , $C=\{5,7,9,11,14\}$ y $D=\{5,6,7,9\}$ .

Parte 4.a

Relación entre $A$ y $B$

Se aplica $y=2x$ a cada elemento de $A$ :

Si $x=1$ , entonces $y=2(1)=2$ .
Si $x=2$ , entonces $y=2(2)=4$ .
Si $x=3$ , entonces $y=2(3)=6$ .
Si $x=4$ , entonces $y=2(4)=8$ , pero $8\notin B$ .

Por tanto, $R=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$ . El dominio está formado por las primeras componentes y el recorrido por las segundas componentes.

Parte 4.b

Diagrama sagital

Las flechas son: $1\to2$ , $2\to4$ y $3\to6$ . El elemento $4$ no tiene flecha porque $8$ no pertenece a $B$ .

Parte 4.c

Relación entre $A$ y $C$

Se aplica $y=2x+3$ :

Para $x=1$ : $y=2(1)+3=5$ .
Para $x=2$ : $y=2(2)+3=7$ .
Para $x=3$ : $y=2(3)+3=9$ .
Para $x=4$ : $y=2(4)+3=11$ .

Entonces, $R=\{(1,5),(2,7),(3,9),(4,11)\}$ .

En el diagrama: $1\to5$ , $2\to7$ , $3\to9$ y $4\to11$ .

Parte 4.d

Diagrama sagital

Las flechas que se deben dibujar son $1\to5$ , $2\to7$ , $3\to9$ y $4\to11$ . El elemento $14$ de $C$ no recibe ninguna flecha.

Parte 4.e

Plano cartesiano

Los puntos que se deben ubicar son los pares ordenados de la relación del literal c):

$(1,5),\ (2,7),\ (3,9),\ (4,11)$

Parte 4.f

Relación entre $B$ y $D$

Se aplica $y=\frac{x}{2}+4$ :

Para $x=2$ : $y=\frac{2}{2}+4=5$ .
Para $x=4$ : $y=\frac{4}{2}+4=6$ .
Para $x=6$ : $y=\frac{6}{2}+4=7$ .

Todos los resultados pertenecen a $D$ . Por ello,

$R=\{(2,5),(4,6),(6,7)\}$

Parte 4.g

Diagrama sagital

Las flechas son $2\to5$ , $4\to6$ y $6\to7$ . El elemento $9$ de $D$ no recibe ninguna flecha.

Parte 4.h

Plano cartesiano

Los puntos que se deben ubicar son:

$(2,5),\ (4,6),\ (6,7)$

Ejercicio 5

Una posible respuesta es:

$A=\{1,2,3\},\quad B=\{2,4,6\},\quad C=\{5,6,7\},\quad D=\{10,20\}$

Tres relaciones pueden ser:

$R_1=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$

$R_2=\{(2,5),(4,6),(6,7)\}$

$R_3=\{(1,10),(2,20)\}$

Los dominios son, respectivamente, $\{1,2,3\}$ , $\{2,4,6\}$ y $\{1,2\}$ . Los recorridos son $\{2,4,6\}$ , $\{5,6,7\}$ y $\{10,20\}$ .

Ejercicio 6

Una relación es una función cuando a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del recorrido. Por ejemplo, $f(x)=2x$ es una función: si $x=1$ , entonces $f(1)=2$ ; si $x=2$ , entonces $f(2)=4$ .

Contenido de la página

Ideas principales

Una relación entre dos conjuntos se puede expresar mediante pares ordenados $(x,y)$ que cumplen una regla. El dominio es el conjunto de las primeras componentes y el recorrido es el conjunto de las segundas componentes.

Las relaciones pueden representarse con flechas entre conjuntos o mediante puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano. Una relación es una función si cada elemento del dominio se relaciona con exactamente un elemento del recorrido.

Ejemplos resueltos

Hallar la relación entre $B=\{2,4,6\}$ y $D=\{5,6,7,9\}$ definida por $y=\frac{x}{2}+4$ .

Se calcula cada imagen: $2\mapsto5$ , $4\mapsto6$ y $6\mapsto7$ . Por tanto, $R=\{(2,5),(4,6),(6,7)\}$ , $Dom(R)=\{2,4,6\}$ y $Rec(R)=\{5,6,7\}$ .

Fórmulas y ecuaciones

Dominio: primeras componentes de los pares ordenados.

Recorrido: segundas componentes de los pares ordenados.

Una relación es función si cada elemento del dominio tiene una sola imagen.

y=2x

y=2x+3

y= $\frac{x}{2}$ +4

Glosario (5)

Relación: Correspondencia que asocia elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.
Par ordenado: pareja de elementos escrita como $(x,y)$, donde el orden de sus componentes es importante.
Dominio: Conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados.
Recorrido: Conjunto formado por las segundas componentes que efectivamente aparecen en la relación.
Función: Relación en la que cada elemento del dominio tiene exactamente una imagen.

Preguntas para practicar

¿Por qué el elemento $4$ no pertenece al dominio de la relación del literal a)?

¿Por qué el elemento $14$ no pertenece al recorrido de la relación del literal c)?

¿Toda relación es una función? Explica tu respuesta.

Temas y conceptos clave

Relaciones entre conjuntosPares ordenadosDominio y recorridoDiagramas sagitalesRepresentación en el plano cartesianoRelaciones y funcionesRelaciónPar ordenadoDominioRecorridoDiagrama sagitalFunción

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