Olimpiadas matemáticas

Resolución de los ejercicios

El cuadrado tiene lado 6 cm, por lo tanto su área es:

A=6\times 6=36\text{ cm}^2

Al dividirse en tres regiones iguales, cada región tiene un área de:

\frac{36}{3}=12\text{ cm}^2

Según la figura, el triángulo DNB tiene como base DB=6 cm y altura NB. Entonces:

A_{\triangle DNB}=\frac{6\times NB}{2}=3NB

Como su área es 12\text{ cm}^2:

3NB=12

NB=4\text{ cm}

Cada circunferencia toca el lado superior y el inferior del rectángulo de altura 9 cm. Por eso, su diámetro es 9 cm y su radio es:

r=\frac{9}{2}=4,5\text{ cm}

La primera circunferencia toca el lado izquierdo, así que su centro está a 4,5 cm de ese lado. La segunda toca el lado derecho, por lo que su centro está a 4,5 cm del lado derecho.

Como el rectángulo mide 15 cm de largo, la distancia entre los centros es:

15-4,5-4,5=6\text{ cm}

El cuadrado tiene área:

A_c=6^2=36\text{ cm}^2

Los tres semicírculos tienen diámetro 6 cm, por lo que todos tienen radio 3 cm. El área de cada semicírculo es:

A_s=\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi(3)^2}{2}=\frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

El área de los dos semicírculos laterales es 9\pi cm². La región inferior sombreada corresponde al área del cuadrado que queda fuera de estos dos semicírculos:

36-9\pi

A esta región se suma el semicírculo superior sombreado:

A_{\text{sombreada}}=36-9\pi+\frac{9\pi}{2}

A_{\text{sombreada}}=36-\frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

La secuencia se repite cada cuatro flores:

1. azul, 2. verde, 3. roja, 4. amarilla.

Dividimos 29 para 4:

29=4\times 7+1

El residuo es 1, así que la flor 29 ocupa la primera posición del ciclo. Es azul.

En el paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Como el ángulo interior en Q mide 41^\circ, el ángulo interior en S también mide 41^\circ.

Consideramos el triángulo formado por S, el punto de intersección de la línea inclinada con SR y P. Sus ángulos conocidos son 41^\circ y 83^\circ. El ángulo interior en el punto de intersección es:

180^\circ-41^\circ-83^\circ=56^\circ

Ese ángulo es igual al ángulo x por ser ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, x=56^\circ.

Sea AD=h. Como 2AD=AB, se tiene AB=2h. El área del rectángulo es 32 cm²:

AB\times AD=32

2h\times h=32

2h^2=32

h=4\text{ cm}

Por tanto, AD=4 cm y AB=8 cm.

Como M es el punto medio de BC, se obtiene BM=2 cm. Dado que DR=BM, entonces DR=2 cm.

Tomamos AM como base horizontal. La altura desde R hasta AM es 4 cm y la distancia horizontal de A a M es 8 cm. Usando coordenadas, A=(0,0), R=(2,4) y M=(8,2):

A_{\triangle ARM}=\frac{1}{2}\left|2\times 2-4\times 8\right|

A_{\triangle ARM}=\frac{1}{2}\left|4-32\right|=14\text{ cm}^2