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La solución de la ecuación 2x+6=8\mathrm{e}^{x} I y la solución de la ecuación x+3=4 también es 1. En este caso,se dice que las ecuaciones 2x+6=8\lor x+3=4 son equivalentes porque tienen igual solución.

Generalmente, una ecuación de primer grado con una incógnita tiene una única solución, pero hay excepciones. Por ejemplo,5x-4=5x es una ecuación sin solución, porque es imposible que, restando cuatro a un número, obtengamos este mismo número.

Por otra parte hay ecuaciones como, por ejemplo,5x+7-3=5x+4 que tienen infinitas soluciones porque la igualdad se cumple para cualquier valor de la incógnita.

Hay muchas situaciones en las que en lugar del signo =(\mathrm{ig}\cup\mathrm{a}) I se debe utilizar los signos ≥(mayor o igual), >(\mathrm{m a y o r}),\leqslant(\mathrm{m e n o r}\circ\mathrm{i g u a l}),\mathrm{y}<(\mathrm{m e n o r})

En general, la resolución de un problema relacionado con una igualdad nos lleva a una ecuación. En cambio,si el enunciado está relacionado con una desigualdad tendremos una inecuación.

Cuando a los dos miembros de una desigualdad, por ejemplo:-3\leq4 le sumamos un mismo número positivo, por ejemplo el cinco:-3+5<4+5 obtenemos otra desigualdad del mismo sentido:2<9 .Esta p r o- piedad también se cumple si el número que sumamos es negativo, por ejemplo si sumamos el menos dos:-3-2<4-2 , obtenemos otra desigualdad del mismo \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{d}0;-5<2

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por el mismo número (diferente de cero) y este es positivo, obtenemos otra desigualdad del mismo sentido(la desigualdad se conserva). Si es negativo, obtenemos otra desigualdad de sentido contrario (la desigualdad cambia de sentido).

Consideremos la desigualdad:-3<4 .A los dos miembros de esta desigualdad los multiplicamos por un mismo número positivo, por ejemplo el dos:-3\cdot2<4\cdot2 ! Obtenemos otra desigualdad del mismo sentido:-6<8 .Si los dividimos p o r-2 , por ejemplo,obtenemos -1.5 en el primer miembro y-2 en el segundo. En \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{o}-1,5>-2

La resolución de inecuaciones funciona como la resolución de ecuaciones excepto cuando hemos de multiplicar o dividir por un número negativo. En estos casos hemos de cambiar el sentido de la desigualdad

Fuente: Godino, Juan D. y FontVicenc. Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros.http://www.ugr.es/local/igodino/edumat-maestros/

Aprendo: Usar expresiones algebraicas para representar ecuaciones e inecuaciones.(Página 261)

Pida a las y los estudiantes que lean la siguiente pregunta:iCuántas manzanas hay en cada bolsa? Mencióneles que como el número es desconocido, utilizarán la variable x para representar la cantidad de manzanas que hay en cada bolsa.Como hay dos bolsas iguales, el número total de manzanas es 2x. Pídales que evalúen 2x para varios valores de xy así determinen los casos en los que esta expresión es menor que,igual que, o más que 8 (el número de naranjas). Comente que la expresión 2x=8 es conocida como ecuación, mientras que las expresiones 2x<8\lor2x>8 son inecuaciones.

Buenas prácticas

Guíe a sus alumnos y alumnas a pensar en una ecuación como una balanza que está en equilibrio y en una inecuación como una que no lo está.

Practico (Página 261)

Las actividades de esta sección tienen por objetivo que Ias y los estudiantes refuercen la comprensión de los conceptos de ecuación e inecuación. Se recomienda guiar a los alumnos y alumnas a evaluar la expresión utilizando el valor dado y a hacerles ver cómo esto los ayuda a determinar si el enunciado se relaciona con una desigualdad o una igualdad.

Aprendo: Valorar expresiones algebraicas para comparar sus valores numéricos.(Página 262)

En el primer ejemplo, se debe evaluar la expresión remplazando b por el valor dado, en este caso, 8. Al evaluar, note que ambos lados de la igualdad tienen el mismo valor (2)Explique que, como son iguales, la expresión corresponde a una ecuación cuya incógnita es b.

En el segundo ejemplo al evaluar con c=15 , observe que el valor del lado izquierdo de la igualdad es mayor. Entonces,al relacionar los valores se obtiene una desigualdad. Señale que, para otro valor de c, el símbolo de la desigualdad podria ser revertido, o eventualmente la relación entre ambas expresiones podria ser una igualdad.

Practico(Página 262)

Las actividades de esta sección tienen por objetivo reforzar la valoración de expresiones algebraicas para comparar sus valores numéricos. Guie a sus estudiantes a determinar si obtienen una ecuación o una inecuación cuando relacionan ambas expresiones para el valor dado de la variable.

Aprendo: Comprender las propiedades de una igualdad.(Páginas 263y 264)

En esta sección sus alumnos y alumnas aprenderán que aplicando la misma operación en ambos lados de una ecuación da como resultado una nueva ecuación que es equivalente a la primera.

Orientaciones didácticas para la Lección 4

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Guía didáctica del docente