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Ejercicios 3-8: ortogonalidad, ecuaciones de recta, lugares geométricos y paralelogramos

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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3a) ortogonales; 3d) ortogonales; 5a) $\{x=5+t;y=-1+3t\}$ ; 5c) $(x,y)=(-5,2)+t(1,-2)$ ; 7a) parábola $y^{2}=6x-9$ ; 7c) $3x+7y=-15$ .

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 15 min lectura

Solución — Página 49

Matematica · 1ro BGU · 2024

Ejercicio 3

(a) $(1,2)\cdot(-2,1)=-2+2=0$ : ortogonales. (b) $(3,0)\cdot(5,5)=15+0=15\ne 0$ : no ortogonales. (c) $(1,-3)\cdot(-2,4)=-2-12=-14$ : no ortogonales. (d) $(2,-2)\cdot(-2,-2)=-4+4=0$ : ortogonales.

Ejercicio 5

a

Recta que pasa por $A(5,-1)$ con pendiente 3: dirección $\vec{d}=(1,3)$ . Paramétrica: $\begin{cases}x=5+t\\ y=-1+3t\end{cases}$ .

Ejercicio 5

b

A $(-6,-3)$ , B $(-5,7)$ : $\vec{d}=(1,10)$ . Paramétrica: $\begin{cases}x=-6+t\\ y=-3+10t\end{cases}$ .

Ejercicio 5

c

Vectorial que pasa por $A(-5,2)$ con pendiente $-2$ : $(x,y)=(-5,2)+t(1,-2)$ .

Ejercicio 7

a (lugar geométrico)

$|x|=\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}\Rightarrow x^{2}=(x-3)^{2}+y^{2}\Rightarrow 6x-9=y^{2}\Rightarrow y^{2}=6x-9$ : parábola con vértice $(3/2,0)$ .

Ejercicio 7

b (foco-foco 7)

Elipse con focos $(0,-3)$ y $(0,3)$ y suma $2a=7\Rightarrow a=7/2$ ; $c=3$ ; $b^{2}=a^{2}-c^{2}=\tfrac{49}{4}-9=\tfrac{13}{4}$ ; $\dfrac{x^{2}}{13/4}+\dfrac{y^{2}}{49/4}=1$ .

Ejercicio 7

c (mediatriz)

Equidistante de $A(-3,5)$ y $B(0,-2)$ : $|PA|=|PB|\Rightarrow (x+3)^{2}+(y-5)^{2}=x^{2}+(y+2)^{2}\Rightarrow 6x+14y=-30\Rightarrow 3x+7y=-15$ .

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📌 Antes de leer esto

• Vectores
• Distancia entre puntos

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Tema 5: Planos paralelos y perpendiculares

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Compruebo si los siguientes pares de vectores son ortogonales: a) (1, 2) y (-2, 1)

b) (3, 0) y (5, 5) c) (1, -3) y (-2, 4) d) (2, -2) y (-2, -2)

Utilizo el concepto de vector ortogonal para demostrar que los puntos medios de un cuadrado también forman un cuadrado.
Resuelvo las siguientes ecuaciones:

a) Ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A (5, -1) y tiene pendiente 3. b) Ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos A (-6, -3) y B (-5, 7).

c) Ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A (-5, 2) y tiene pendiente -2.

d) Ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A (-2, -1) y B (-2, 1).

Hallo la ecuación del lugar geométrico de las situaciones presentadas a continuación:
Resuelvo los siguientes problemas:

a) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje Y es siempre igual a la distancia al punto A (3, 0).

b) Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A (0, -3) y B (0, 3) es siempre igual a 7.

c) Un punto se mueve de tal manera que se conserva siempre equidistante de los puntos A (-3, 5) y B (0, -2).

d) Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (6, 1) es siempre igual a su distancia al eje Y.

Resuelvo los siguientes problemas:

a) Un paralelogramo MNSR tiene tres de sus cuatro vértices en M (0, 3); N (-1, 2); O (-2, 8). Usando vectores, determino el vértice que falta.

b) determino el tipo de cuadrilátero que se forma al unir consecutivamente los siguientes puntos A

(-2, 5); B (3, 4), C (-3, -1); D (4, 10), utilizando los vectores AB, BC, CD y DA. c) Dados los puntos A (3, -2); B (-7, 8); C (2, -7) y D (3, -5), demuestro que los vectores AB y cb son paralelos y determina el sentido de cada uno de ellos.