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Ecuaciones de la forma Ax = B y propiedades de la igualdad

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Respuesta rápida

Ecuación $Ax=B$ : una incógnita. Propiedades: $a+c=b+c$ y $ac=bc$ ( $c\ne0$ ). Inversos: $-c$ y $1/c$ . Ejemplo: $3x+5=20 \Rightarrow x=5$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 180

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Marco teórico

Una ecuación de la forma $Ax = B$ tiene una sola incógnita (normalmente $x$ ); $A$ y $B$ son constantes numéricas conocidas. El valor de $x$ que hace cierta la igualdad se llama solución de la ecuación.

Para despejar $x$ se usan las propiedades de la igualdad:

Propiedad aditiva de la igualdad

Si $a = b$ , entonces para cualquier número real $c$ :

$a + c = b + c$

Es decir, sumar (o restar) la misma cantidad en ambos lados no altera la igualdad.

Propiedad multiplicativa de la igualdad

Si $a = b$ y $c \ne 0$ , entonces:

$ac = bc$

Multiplicar (o dividir) ambos lados por la misma cantidad distinta de cero conserva la igualdad.

Inverso aditivo

Todo número real $c$ tiene inverso aditivo $-c$ , y se cumple:

$c + (-c) = 0$

Inverso multiplicativo

Todo número real $c \ne 0$ tiene inverso multiplicativo $\dfrac{1}{c}$ , y se cumple:

$c \times \frac{1}{c} = 1$

Ejemplo de aplicación (despeje de x)

Resolver $3x + 5 = 20$ .

Aplico la propiedad aditiva sumando el inverso aditivo de $5$ , que es $-5$ , en ambos lados:

$3x + 5 + (-5) = 20 + (-5)$

Simplifico usando $5 + (-5) = 0$ :

$3x = 15$

Aplico la propiedad multiplicativa multiplicando por el inverso multiplicativo de $3$ , que es $\dfrac{1}{3}$ :

$\frac{1}{3} \cdot 3x = \frac{1}{3} \cdot 15$

Simplifico usando $3 \times \dfrac{1}{3} = 1$ :

$x = 5$

Respuesta: $x = 5$ .

Verificación: $3(5) + 5 = 15 + 5 = 20$ ✓

Contenido de la página

Las ecuaciones de la forma $Ax = B$ sólo contienen una incógnita, por lo general $x$ . $A$ y $B$ se llaman constantes numéricas y su valor es conocido. La literal $x$ se calcula por medio de operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación y división. Al valor de la incógnita que cumpla con la igualdad se le nombra solución de la ecuación.

Las operaciones matemáticas por realizar para despejar a $x$ están basadas en las propiedades de la igualdad:

Propiedad aditiva de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a$ , $b$ y $c$ , si $a = b$ , entonces la suma de $a$ y $c$ será igual a la suma de $b$ y $c$ . Es decir:

$a + c = b + c$

Propiedad multiplicativa de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a$ , $b$ y $c$ , donde $c$ es diferente de cero, si $a$ es igual a $b$ , entonces el producto de $a$ y $c$ será igual al producto de $b$ y $c$ . En otras palabras:

$ac = bc$

En ambos casos se suman o multiplican los términos de la ecuación por una cantidad; ésta puede ser:

Inverso aditivo: todo número real $c$ tiene un inverso aditivo que es $-c$ , de tal forma que siempre se cumple $c + (-c) = 0$ .
Inverso multiplicativo: todo número real $c$ tiene un inverso multiplicativo que es $\dfrac{1}{c}$ , de tal forma que, siempre y cuando $c$ sea diferente de cero:

$c \times \frac{1}{c} = 1$

Ejemplos resueltos

Resolver la ecuación $3x + 5 = 20$ aplicando las propiedades de la igualdad.

Sumo $-5$ en ambos lados: $3x + 5 - 5 = 20 - 5 \Rightarrow 3x = 15$ . Multiplico por $\frac{1}{3}$ : $x = 5$ . Verificación: $3(5)+5=20$ .

Tabla

Propiedad	Condición	Expresión
Aditiva	$a=b$	$a+c=b+c$
Multiplicativa	$a=b$ , $c\ne0$	$ac=bc$
Inverso aditivo	$c$ real	$c+(-c)=0$
Inverso multiplicativo	$c\ne0$	$c\times\frac{1}{c}=1$

Diagrama

mindmap
  root((Propiedades de la igualdad))
    Aditiva
      a+c=b+c
      Inverso aditivo -c
      c+(-c)=0
    Multiplicativa
      ac=bc (c≠0)
      Inverso multiplicativo 1/c
      c×(1/c)=1

Fórmulas y ecuaciones

a + c = b + c

ac = bc

c $\times$ $\frac{1}{c}$ = 1

Ax = B

a + c = b + c

ac = bc

c + (-c) = 0

c $\times$ $\frac{1}{c}$ = 1

Glosario (6)

Ecuación: Igualdad matemática que contiene una o más incógnitas.
Incógnita: Literal cuyo valor se desconoce y se busca calcular.
Constante numérica: Número conocido que multiplica o acompaña a la incógnita.
Solución de la ecuación: Valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
Inverso aditivo: Número que sumado a otro da cero; de $c$ es $-c$.
Inverso multiplicativo: Número que multiplicado por otro da uno; de $c$ es $1/c$.

Preguntas para practicar

¿Por qué en la propiedad multiplicativa se exige que $c \ne 0$?

Porque la división entre cero no está definida y no existe inverso multiplicativo de cero. Si se multiplicara por cero, la igualdad se convertiría en $0 = 0$ y se perdería información sobre la incógnita.

¿Qué relación existe entre el inverso aditivo y la operación de resta?

Restar un número equivale a sumar su inverso aditivo: $a - c = a + (-c)$. Por eso la propiedad aditiva permite 'pasar' términos al otro lado cambiando su signo.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones de la forma Ax = BPropiedades de la igualdadInversos aditivo y multiplicativoIncógnitaConstante numéricaSolución de la ecuaciónPropiedad aditivaPropiedad multiplicativaInverso aditivoInverso multiplicativo

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se despeja la incógnita x en una ecuación de la forma Ax=B?

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¿Qué diferencia hay entre inverso aditivo e inverso multiplicativo?

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¿Por qué no se puede multiplicar por cero en una igualdad?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números reales
• Noción de igualdad matemática
• Uso de literales para representar números

Siguiente tema sugerido

Resolución de ecuaciones de la forma Ax + B = C con coeficientes enteros y fraccionarios

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1305 caracteres

Las ecuaciones de la forma $Ax=B$ sólo contienen una incógnita, por lo general x. A y B se llaman constantes numéricas y su valor es conocido. La literal x se calcula por medio de operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación y división. Al valor de la incógnita que cumpla con la igualdad se le nombra solución de la ecuación.

Las operaciones matemáticas por realizar para despejar a x están basadas en las propiedades de la igualdad:

c Propiedad aditiva de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a,byc,\mathrm{si}a=b,$ ,entonces la suma de a y c seráigual a la suma de $b y c.$ Esdecir:

$a+c=b+c$

Propiedad multiplicativa de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a,b y c,$ donde c es diferente de cero, si a es igual a $b,$ entonces el producto de a y c será igual al producto de y c. En otras palabras:

$ac=bc$

En ambos casos se suman o multiplican los términos de la ecuación por una cantidad, ésta puede ser:

ci Inverso aditivo: todo número real c tiene un inverso aditivo que es ,i $-c_{s}$ de tal forma que siempre se cumple $c-c=0$

Inverso multiplicativo: todo número real c tiene un inverso multiplicativo que es

$\frac{1}{c}$

de tal forma que, siempre y cuando c sea diferente de cero:

$c\times\frac{1}{c}=1$

求

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