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Propiedades de los círculos y la circunferencia

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El diámetro divide la circunferencia y el círculo en dos partes iguales (semicircunferencias y semicírculos). 2) El diámetro es la mayor cuerda. 3) La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia ( $90^\circ$ ).

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Solución — Página 46

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Propiedades de los círculos

Esta página es teórica. A continuación se explican y justifican las tres propiedades presentadas.

Propiedad 1. El diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales

Sea una circunferencia de centro $C$ y radio $r$ . Un diámetro es cualquier segmento que pasa por $C$ y une dos puntos de la circunferencia, como $\overline{AB}$ .
Todo diámetro mide $d = 2r$ , por lo que cualquier diámetro tiene la misma longitud.
Al trazar $\overline{AB}$ , la circunferencia queda partida en dos arcos iguales llamados semicircunferencias: $\overset{\frown}{AB}$ y $\overset{\frown}{BA}$ .
El círculo queda partido en dos regiones iguales llamadas semicírculos.

Respuesta: el diámetro es eje de simetría: genera dos semicircunferencias y dos semicírculos congruentes.

Propiedad 2. El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia

Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, como $\overline{DE}$ , $\overline{JE}$ , $\overline{FG}$ o $\overline{HI}$ .
En el triángulo formado por dos radios y una cuerda, la desigualdad triangular indica que la cuerda es menor que la suma de los dos radios: $\overline{DE} < r + r = 2r$ .
Como $2r = d = \overline{AB}$ , se concluye que $\overline{AB} > \overline{DE}$ , $\overline{AB} > \overline{JE}$ , $\overline{AB} > \overline{FG}$ y $\overline{AB} > \overline{HI}$ .
La igualdad solo ocurre cuando la cuerda pasa por el centro, es decir, cuando es diámetro.

Respuesta: la distancia máxima entre dos puntos de una circunferencia es el diámetro.

Propiedad 3. La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia

Una recta tangente toca a la circunferencia en un único punto llamado punto de tangencia.
En la imagen, la recta $a$ es tangente en $A$ , la recta $b$ en $B$ y la recta $d$ en $D$ .
El radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente: $\overline{CA} \perp a$ , $\overline{CB} \perp b$ y $\overline{CD} \perp d$ .
Por ello los ángulos formados miden $\alpha = 90^\circ$ , $\gamma = 90^\circ$ y $\beta = 90^\circ$ .

Respuesta: en todo punto de tangencia, la recta tangente y el radio son perpendiculares ( $90^\circ$ ).

Contenido de la página

Propiedades de los círculos

Una propiedad es el atributo o cualidad de una persona u objeto. Las circunferencias y los círculos tienen propiedades o cumplen con ciertas características que, sin importar su tamaño o ubicación, siempre se pueden identificar.

Algunas propiedades del círculo o la circunferencia son:

Un diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales. Sin importar la posición del diámetro, éste siempre los divide por la mitad.

Los arcos determinados por el diámetro se denominan semicircunferencias. Si el segmento $AB$ es el diámetro de la circunferencia $c$ , entonces el arco $AB$ es una semicircunferencia.

Las porciones o partes del círculo limitadas por las semicircunferencias y el diámetro se denominan semicírculos.

El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia. Esto implica que la distancia máxima entre dos puntos de una circunferencia es el diámetro. Por tanto, el segmento $AB$ es mayor a los segmentos $DE$ , $JE$ , $FG$ , $HI$ .
La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que contiene al punto de intersección. Ello indica que una recta tangente a la circunferencia y el radio con el que se interseca en un punto de la circunferencia son perpendiculares. En la imagen de la derecha, la recta $a$ es tangente a la circunferencia en el punto $A$ , la recta $b$ es tangente a la circunferencia en el punto $B$ y la recta $d$ es tangente a la circunferencia en el punto $D$ .

Ejemplos resueltos

Si el radio de una circunferencia mide $5\,\text{cm}$ , ¿cuánto mide su diámetro y cuál es la mayor cuerda posible?

El diámetro es el doble del radio: $d = 2r$ .
Sustituyendo: $d = 2(5) = 10\,\text{cm}$ .
La mayor cuerda es el diámetro, por lo que mide $10\,\text{cm}$ .

Respuesta: $d = 10\,\text{cm}$ y la mayor cuerda mide $10\,\text{cm}$ .

Tabla

Elemento	Definición	Propiedad clave
Diámetro	Segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia	Divide la circunferencia y el círculo en dos partes iguales; es la mayor cuerda
Cuerda	Segmento que une dos puntos de la circunferencia	Siempre menor o igual que el diámetro
Semicircunferencia	Arco determinado por un diámetro	Mide la mitad de la circunferencia
Semicírculo	Región del círculo limitada por un diámetro y una semicircunferencia	Es la mitad del área del círculo
Recta tangente	Recta que toca la circunferencia en un solo punto	Es perpendicular al radio en el punto de tangencia

Diagrama

graph TD
  A[Propiedades de la circunferencia y el círculo] --> B[Diámetro divide en dos partes iguales]
  B --> B1[Semicircunferencias]
  B --> B2[Semicírculos]
  A --> C[Diámetro es la mayor cuerda]
  C --> C1[Distancia máxima entre dos puntos]
  A --> D[Tangente perpendicular al radio]
  D --> D1[Punto de tangencia]
  D1 --> D2[Ángulo de 90 grados]

Fórmulas y ecuaciones

d = 2r

$\overline{CA}$ $\perp$ a $\Rightarrow$ $\alpha$ = $90^\circ$

d = 2r

$\overline{AB}$ > $\overline{DE}$

$\overline{CA}$ $\perp$ a

$\alpha$ = $90^\circ$

$\beta$ = $90^\circ$

$\gamma$ = $90^\circ$

Glosario (8)

Propiedad: Atributo o cualidad que caracteriza a un objeto o figura y que se cumple siempre.
Diámetro: Segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia; mide el doble del radio.
Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Semicircunferencia: Cada uno de los dos arcos iguales en que un diámetro divide a la circunferencia.
Semicírculo: Cada una de las dos regiones iguales en que un diámetro divide al círculo.
Recta tangente: Recta que toca a la circunferencia en un único punto llamado punto de tangencia.
Punto de tangencia: Punto donde la recta tangente toca a la circunferencia.
Perpendicular: Relación entre dos rectas que se cortan formando ángulos de $90^\circ$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia?

Porque cualquier cuerda junto con los dos radios que unen sus extremos al centro forma un triángulo; por la desigualdad triangular, la cuerda es menor que la suma de los dos radios, es decir, menor que $2r$. La igualdad solo se alcanza cuando la cuerda pasa por el centro, es decir, cuando es diámetro.

¿Qué diferencia hay entre una semicircunferencia y un semicírculo?

La semicircunferencia es solo el arco (la línea curva) que resulta de dividir la circunferencia con un diámetro, mientras que el semicírculo es la región plana (el área) limitada por ese arco y el diámetro. Una es una curva y el otro es una superficie.

Temas y conceptos clave

Propiedades de la circunferenciaPropiedades del círculoDiámetro, cuerdas y tangentesdiámetrocuerdasemicircunferenciasemicírculorecta tangentepunto de tangenciaperpendicularidadradio

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Figuras de la página (3)

Circunferencia con centro $C$ y diámetro $\overline{AB}$; el diámetro divide el círculo en dos semicírculos, uno sombreado y otro claro. — Figura 1 image

Circunferencia con centro $C$ y varias cuerdas: $\overline{AB}$ (diámetro), $\overline{DE}$, $\overline{JE}$, $\overline{FG}$ y $\overline{HI}$, que son menores que el diámetro. — Figura 2 image

Circunferencia con centro $C$ y tres rectas tangentes: $a$ en el punto $A$, $b$ en el punto $B$ y $d$ en el punto $D$; se marcan ángulos rectos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ de $90^\circ$ entre cada tangente y su radio. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Por qué el diámetro es la cuerda de mayor longitud en una circunferencia?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre semicircunferencia y semicírculo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se comprueba que la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer puntos, rectas y segmentos
• Identificar el centro y el radio de una circunferencia
• Medir ángulos en grados
• Concepto de perpendicularidad

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Ángulos en la circunferencia y rectas notables

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Propiedades de los círculos

Una propiedad es el atributo o cualidad de una persona u objeto.Las circunferencias y los círculos tienen propiedades o cumplen con ciertas características que, sin importar su tamano o ubicación, siempre se pueden identificar.

Algunas propiedades del círculo o la circunferencia son:

cUn diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales. Sin importar la posición del diámetro, éste siempre los divide por la mitad.

Los arcos determinados por el diámetro se denominan semicircunferencias. Si el segmento AB es el diámetro de la circunferencia c, entonces el arco AB es una semicircunferencia.

Las porciones o partes del círculo limitadas por las semicircunferencias y el diámetro se denominan semicirculos.

cid l diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia. Esto implica que la distancia máxima entre dos puntos de una circunferencia es el diámetro. Por tanto, el segmento AB es mayor a los segmentos DE, JE, FG, HI.

a tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que contiene al punto de intersección. Ello indica que una recta tangente a la circunferencia y el radio con el que se interseca en un punto de la circunferencia son perpendiculares. En la imagen de la derecha, la recta a es tangente a la circunferencia en el punto A,la recta b es tangente a la circunferencia en el punto B y la recta d es tangente a la circunferencia en el punto D.

福

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