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Ángulo central y ángulo inscrito en la circunferencia

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$\angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ$ ; $\angle XYZ = 32.5^\circ$ ; el ángulo inscrito mide la mitad del arco porque el ángulo central es el doble.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 47

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Identificar la medida del ángulo central $\angle BCA$ y del arco $\widehat{AB}$ a partir de la figura.

En la figura se observa que el ángulo central $\angle BCA$ tiene su vértice en el centro $C$ y sus lados son los radios $CA$ y $CB$ .
La medida indicada en la figura es $\alpha = 80.5^\circ$ .
Por la propiedad que dice que un arco mide lo mismo que su ángulo central, se tiene $\angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ$ .

Respuesta

$\angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ$ .

Ejercicio 2

Calcular la medida del ángulo inscrito $\angle XYZ$ si el arco $\widehat{XZ}$ mide $65^\circ$ .

La fórmula que relaciona el ángulo inscrito con su arco es $\angle XYZ = \frac{\widehat{XZ}}{2}$ .
Se sustituye el valor del arco: $\angle XYZ = \frac{65^\circ}{2}$ .
Se realiza la división: $\angle XYZ = 32.5^\circ$ .

Respuesta

$\angle XYZ = 32.5^\circ$ .

Ejercicio 3

Explicar por qué el ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca.

El ángulo inscrito tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas.
Si se traza el radio desde el centro hasta el vértice del ángulo inscrito, se forma un triángulo isósceles con dos radios.
Aplicando el teorema del ángulo exterior y la propiedad del triángulo isósceles, se deduce que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.
Por lo tanto, el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, y como el arco mide lo mismo que el ángulo central, el ángulo inscrito mide la mitad del arco.

Respuesta

Porque el ángulo central correspondiente es el doble del ángulo inscrito que abarca el mismo arco.

Contenido de la página

Ángulo central

Un arco mide lo mismo que su ángulo central. Así, a cualquier arco se le asigna la misma medida angular que al ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus extremos coinciden con los extremos del arco.

El ángulo $BCA$ se denomina ángulo central y se indica como $\angle BCA$ , mientras que el arco $AB$ es el segmento de circunferencia que abarca $\angle BCA$ , y se denota como $\widehat{AB}$ . Por tanto, $\angle BCA = \widehat{AB} = 80.5^\circ$ .

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que abarca. Este ángulo tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas; para conocer la medida de su arco se debe conocer o deducir la medida del ángulo central.

En la imagen de abajo, el ángulo $XYZ$ es un ángulo inscrito y el segmento de circunferencia $XZ$ es el arco que abarca el ángulo.

Como $\angle XYZ = \frac{\widehat{XZ}}{2}$ , si $\widehat{XZ} = 65^\circ$ , entonces, $\angle XYZ = \frac{65^\circ}{2}$ , es decir, $\angle XYZ = 32.5^\circ$ .

Importancia del círculo

Conocer las propiedades del círculo permite trabajar con mayor precisión y rapidez en la resolución de problemas que se modelan con circunferencias o círculos, por ejemplo, los radares de navegación.

El estudio del círculo y sus partes como la circunferencia, el semicírculo, el sector circular, el segmento circular, la zona circular, así como los elementos arco, ángulo inscrito y ángulo central son fundamentales en la geometría. Cada uno de estos elementos tiene una definición precisa y se relaciona con las demás de manera específica. El círculo es una figura geométrica básica y se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana, desde la medición de áreas y perímetros para la construcción y la ingeniería, hasta la creación de diseños en las artes gráficas y la producción de piezas mecánicas en la industria. Comprender los conceptos relacionados con el círculo y sus partes es esencial para la resolución de problemas y la aplicación de la geometría en diversos campos.

Ejemplos resueltos

Si el ángulo central $\angle BCA$ mide $80.5^\circ$ , ¿cuánto mide el arco $\widehat{AB}$ ?

Por la propiedad del ángulo central, el arco mide lo mismo que el ángulo central. Por lo tanto, $\widehat{AB} = 80.5^\circ$ .

Si el arco $\widehat{XZ}$ mide $65^\circ$ , ¿cuánto mide el ángulo inscrito $\angle XYZ$ ?

El ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca. Entonces, $\angle XYZ = \frac{65^\circ}{2} = 32.5^\circ$ .

Tabla

Elemento	Definición	Relación
Ángulo central	Vértice en el centro, lados son radios	Mide lo mismo que el arco
Ángulo inscrito	Vértice en la circunferencia, lados son cuerdas	Mide la mitad del arco

Diagrama

graph TD
    A[Circunferencia] --> B[Ángulo central]
    A --> C[Ángulo inscrito]
    B --> D[Arco igual al ángulo central]
    C --> E[Arco es el doble del ángulo inscrito]
    D --> F[Ejemplo: 80.5°]
    E --> G[Ejemplo: 65° → 32.5°]

Fórmulas y ecuaciones

$\angle$ $\text{central}$ = $\text{medida del arco}$

$\angle$ $\text{inscrito}$ = $\frac{\text{medida del arco}}{2}$

$\angle$ BCA = $\widehat{AB}$ = $80.5^\circ$

$\angle$ XYZ = $\frac{\widehat{XZ}}{2}$

$\angle$ XYZ = $\frac{65^\circ}{2}$ = $32.5^\circ$

Glosario (4)

Ángulo central: Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
Ángulo inscrito: Ángulo cuyo vértice está en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas.
Arco: Segmento de circunferencia comprendido entre dos puntos.
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

Preguntas para practicar

¿Por qué es importante conocer las propiedades del círculo en la vida cotidiana?

Porque el círculo está presente en la construcción, la ingeniería, el diseño gráfico y la industria. Comprender sus propiedades permite resolver problemas de áreas, perímetros y trayectorias con precisión. Además, facilita la modelación de fenómenos como las ondas de radar o el movimiento circular.

Temas y conceptos clave

Ángulo centralÁngulo inscritoRelación entre arco y ánguloÁngulo centralÁngulo inscritoArcoCircunferenciaCuerda

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Figuras de la página (2)

Circunferencia con centro C, ángulo central BCA de 80.5° y arco AB resaltado. — Figura 1 image

Circunferencia con centro C, ángulo inscrito XYZ de 32.5° y arco XZ de 65° resaltado. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la medida de un arco si se conoce el ángulo inscrito?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre ángulo central y ángulo inscrito?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué aplicaciones tiene el estudio del círculo en la vida cotidiana?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de ángulo
• Elementos de la circunferencia: radio, cuerda, centro
• Operaciones básicas con números decimales

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Área y perímetro de sectores circulares

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2089 caracteres

El ángulo BCA se denomina ángulo central y se indica como ∠ BCA, mientras que el arco AB es el segmento de circunferencia que abarca ∠ BCA, y se denota como $\widehat{AB}$ , Por tanto, $\angle BCA=\widehat{AB}=80.5^{\circ}$

c l ángulo inscrito mide la mitad que el arco que abarca. Este ángulo tiene su vértice en un punto de la circunferencia y sus lados son cuerdas; para conocer la medida de su arco se debe conocer o deducir la medida del ángulo central.

En la imagen de abajo, el ángulo XYZ es un ángulo inscrito y el segmento de circunferencia XZ es el arco que abarca el ángulo.

$\mathrm{Como}\ \angle XYZ=\frac{\widehat{XZ}}{2},\quad\mathrm{si}\ \widehat{XZ}=65^{\circ},\quad\mathrm{entonces},\quad\angle XYZ=\frac{65^{\circ}}{2},$

es decir, $\angle XYZ=32.5^{\circ}$

El estudio del círculo y sus partes como la circunferencia, el semicírculo,el sector circular, el segmento circular, la zona circular, así como los elementos arco, ángulo inscrito y ángulo central son fundamentales en la geometria. Cada uno de estos elementos tiene una definición precisa y se relaciona con las demás de manera específica. El círculo es una figura geométrica básica y se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana, desde la medición de áreas y perímetros para la construcción y la ingeniería, hasta la creación de diseños en las artes gráficas y la producción de piezas mecánicas en la industria. Comprender los conceptos relacionados con el círculo y sus partes es esencial para la resolución de problemas y la aplicación de la geometria en diversos campos.

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