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Sucesiones cuadráticas

📄 introduccion matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Sucesión: lista ordenada de términos. Regla cuadrática: $a_n=an^{2}+bn+c$ , $a\ne 0$ . Se detecta cuando las diferencias segundas son constantes.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 107

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Sucesiones cuadráticas

Esta página es una introducción teórica: no contiene ejercicios numéricos, por lo que se explican y ejemplifican los conceptos.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos de la sucesión. Por tener un orden también se le llama secuencia. Se usa para describir, explicar, determinar o representar el comportamiento o patrón de figuras o números.

Se denota $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ , donde $a_n$ es el término general o enésimo.

Regla o término general

Para calcular cualquier término se establece una regla aritmética que puede escribirse como una expresión algebraica $a_n = f(n)$ .

¿Cuándo es cuadrática?

Cuando el comportamiento de los términos es cuadrático, la regla es una expresión cuadrática o de segundo grado:

$a_n = an^{2} + bn + c, \quad a \ne 0$

Ejemplo 1: sucesión cuadrática básica

Sucesión: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$

Diferencias primeras: $4-1=3$ , $9-4=5$ , $16-9=7$ , $25-16=9$ .
Diferencias segundas: $5-3=2$ , $7-5=2$ , $9-7=2$ . Son constantes ( $=2$ ), por lo tanto es cuadrática.
Con $a=\frac{2}{2}=1$ y probando $a_n=n^{2}$ : $a_1=1$ , $a_2=4$ , $a_3=9$ . Coincide.

Respuesta: $a_n = n^{2}$ .

Ejemplo 2: con término lineal

Sucesión: $3, 8, 15, 24, 35, \dots$

Diferencias primeras: $5, 7, 9, 11$ .
Diferencias segundas: $2, 2, 2$ → cuadrática con $a=\frac{2}{2}=1$ .
Planteando $a_n = n^{2}+bn+c$ : con $n=1$ , $1+b+c=3$ ; con $n=2$ , $4+2b+c=8$ . Restando: $3+b=5 \Rightarrow b=2$ ; entonces $c=0$ .

Respuesta: $a_n = n^{2}+2n$ .

Ejemplo 3: con término constante

Sucesión: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

Diferencias primeras: $3, 5, 7, 9$ .
Diferencias segundas: $2, 2, 2$ → $a=1$ .
Con $n=1$ : $1+b+c=2$ ; con $n=2$ : $4+2b+c=5$ . Restando: $3+b=3 \Rightarrow b=0$ ; luego $c=1$ .

Respuesta: $a_n = n^{2}+1$ .

Criterio general

Si las diferencias segundas son constantes e iguales a $d$ , entonces $a=\frac{d}{2}$ y la sucesión es cuadrática.

Contenido de la página

Sucesiones cuadráticas

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos de la sucesión. Por tener un orden, a la sucesión también se le conoce como secuencia y es útil para describir, explicar, determinar o representar el comportamiento o patrón de figuras o números. Para ello, es necesario establecer una regla aritmética que sirva para calcular cualquier término de la sucesión. Esta regla puede representarse con una expresión algebraica. Cuando el comportamiento de los términos o valores de una sucesión es cuadrático, la regla es una expresión cuadrática o de segundo grado.

Ejemplos resueltos

Encuentra la regla de la sucesión $1, 4, 9, 16, 25, \dots$

Diferencias primeras: $3, 5, 7, 9$ . Diferencias segundas: $2, 2, 2$ (constantes). Entonces $a=\frac{2}{2}=1$ y $a_n=n^{2}$ .

Encuentra la regla de la sucesión $3, 8, 15, 24, 35, \dots$

Diferencias primeras: $5, 7, 9, 11$ ; segundas: $2, 2, 2$ . Con $a=1$ , planteando $1+b+c=3$ y $4+2b+c=8$ se obtiene $b=2$ , $c=0$ . Regla: $a_n=n^{2}+2n$ .

Encuentra la regla de la sucesión $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

Diferencias primeras: $3, 5, 7, 9$ ; segundas: $2, 2, 2$ . Con $a=1$ , $1+b+c=2$ y $4+2b+c=5$ dan $b=0$ , $c=1$ . Regla: $a_n=n^{2}+1$ .

Tabla

n	1	2	3	4	5
$a_n=n^{2}$	1	4	9	16	25
$a_n=n^{2}+2n$	3	8	15	24	35
$a_n=n^{2}+1$	2	5	10	17	26

Diagrama

flowchart TD
  A[Sucesión] --> B[Lista ordenada de términos]
  A --> C[Regla aritmética]
  C --> D[Expresión algebraica]
  D --> E{¿Diferencias segundas constantes?}
  E -->|Sí| F[Cuadrática: an^2+bn+c]
  E -->|No| G[Lineal u otro tipo]

Fórmulas y ecuaciones

$a_n$ = $an^{2}$ + bn + c

a = $\frac{d}{2}$ $\text{ (d = diferencia segunda constante)}$

$a_n$ = $an^{2}$ + bn + c, $\quad$ a $\ne$ 0

$a_n$ = $n^{2}$

$a_n$ = $n^{2}$ + 2n

$a_n$ = $n^{2}$ + 1

Glosario (5)

Sucesión: Lista ordenada de números o figuras llamados términos.
Secuencia: Otro nombre que recibe una sucesión por tener un orden establecido.
Término de la sucesión: Cada uno de los elementos que forman la sucesión; se denota $a_n$.
Regla aritmética: Criterio que permite calcular cualquier término de la sucesión.
Expresión cuadrática: Expresión algebraica de segundo grado de la forma $an^{2}+bn+c$ con $a\ne 0$.

Preguntas para practicar

¿Por qué a una sucesión también se le llama secuencia?

Porque sus elementos siguen un orden establecido, es decir, una secuencia. Ese orden permite identificar el patrón y predecir términos posteriores.

¿Cómo se reconoce que una sucesión es cuadrática?

Se calculan las diferencias entre términos consecutivos; si las diferencias segundas son constantes, la sucesión es cuadrática y su regla es de la forma $a_n=an^{2}+bn+c$.

Temas y conceptos clave

SucesionesSucesiones cuadráticasTérmino generalSucesión o secuenciaTérminos de la sucesiónRegla aritméticaExpresión algebraicaExpresión cuadrática o de segundo grado

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Patrón textil geométrico blanco sobre fondo morado con motivos simétricos y espirales. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

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¿Cómo se calcula el término general de una sucesión cuadrática?

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¿Cuál es la diferencia entre una sucesión aritmética y una cuadrática?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números enteros
• Sustitución de valores en expresiones algebraicas
• Noción de variable y de expresión algebraica

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Cálculo del término general de sucesiones cuadráticas a partir de diferencias

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Sucesiones cuadráticas

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos de la sucesión. Por tener un orden,a la sucesión también se le conoce como secuencia y es útil para describir,explicar, determinar o representar el comportamiento o patrón de figuras o números. Para ello, es necesario establecer una regla aritmética que sirva para calcular cualquier término de la sucesión. Esta regla puede representarse con una expresión algebraica. Cuando el comportamiento de los términos o valores de una sucesión es cuadrático, la regla es una expresión cuadrática o de segundo grado.

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