Principio de Cavalieri y volumen de sólidos geométricos
Respuesta rápida
El principio de Cavalieri: sólidos con igual altura y secciones transversales equivalentes tienen igual volumen. El volumen se mide en cm³.
Solución — Página 20
Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Principio de Cavalieri
La página es teórica: no contiene ejercicios numéricos. Se explica el principio de Cavalieri y el concepto de volumen.
¿Qué afirma el principio de Cavalieri?
Si dos sólidos tienen la misma altura y, al cortarlos con planos paralelos a la base, las secciones transversales correspondientes tienen la misma área, entonces ambos sólidos tienen el mismo volumen.
- Se toman dos pilas de hojas de papel de igual altura.
- Se desplazan las hojas de una pila para inclinarla.
- Al trazar planos paralelos a la base, la sección transversal de ambas pilas es idéntica en cada nivel.
- El volumen no cambia porque están formadas por los mismos elementos.
Respuesta orientativa: El principio de Cavalieri permite comparar volúmenes de sólidos con formas diferentes pero con igual altura y secciones transversales equivalentes.
Volumen y unidades cúbicas
El volumen es el espacio que ocupa un sólido en tres dimensiones. La unidad básica es el centímetro cúbico, 1 \, \text{cm}^{3}, que corresponde a un cubo de arista 1 \, \text{cm}.
- En prismas rectos se pueden contar los cubos unitarios completos.
- Para figuras irregulares se descompone la figura en partes más simples.
- El principio de Cavalieri permite decidir si dos sólidos distintos tienen igual volumen.
Respuesta orientativa: El volumen se mide en unidades cúbicas; el principio de Cavalieri es una herramienta para comparar volúmenes sin necesidad de calcularlos directamente.
Propiedades de los sólidos
Los sólidos geométricos tienen dos propiedades de interés: área y volumen. El área se obtiene de las caras que los delimitan (planas o curvas) y el volumen, de la cantidad de unidades cúbicas que los componen.
Respuesta orientativa: Área y volumen son propiedades medibles de los sólidos; la primera depende de la superficie y la segunda del espacio ocupado.
Contenido de la página
Principio de Cavalieri
El principio de Cavalieri es un recurso para determinar si dos sólidos poseen el mismo volumen. Para comprender en qué consiste este principio, se realiza un sencillo experimento con una pila de papel que permita calcular el volumen de manera directa. Si se desplazan los papeles de la pila, dan lugar a una figura inclinada tal como se ilustra en la imagen. A pesar de este cambio en la disposición, el volumen de la figura no se altera, ya que está compuesta por los mismos elementos.
Si se trazan planos paralelos a la base, su intersección con ambas pilas resulta cada vez en una sección transversal del mismo tamaño. Esta propiedad, en la cual el volumen no cambia, se conoce como principio de Cavalieri, el cual es aplicable a sólidos que tienen la misma altura y la misma sección transversal en cada nivel.
El volumen de un sólido geométrico equivale al espacio que ocupa en el espacio tridimensional. Para medir el volumen, se emplea como referencia la unidad de medida basada en un cubo cuya arista es 1 cm. Esta unidad de volumen es el centímetro cúbico (cm³). En el caso de los prismas, es posible contar directamente los cubos que lo componen, siempre y cuando sean unidades cúbicas completas. Para obtener el volumen de otras figuras existen estrategias adicionales; una de ellas consiste en descomponer la figura en partes más sencillas. El principio de Cavalieri permite determinar si dos sólidos tienen el mismo volumen, aunque tengan forma diferente.
Los sólidos geométricos cuentan con dos propiedades de interés por su utilidad en diferentes aplicaciones: área y volumen. El área se determina a partir de las caras que delimitan el sólido, las cuales pueden ser planas o curvas. Por último, el volumen de los sólidos se determina a partir de la cantidad de unidades cúbicas que lo componen.
Ejemplos resueltos
Dos pilas de hojas tienen la misma altura. Una está recta y la otra inclinada. ¿Tienen el mismo volumen? Justifica con el principio de Cavalieri.
- Ambas pilas están formadas por las mismas hojas, por lo que tienen la misma altura.
- Al cortarlas con planos paralelos a la base, las secciones transversales son iguales en cada nivel.
- Por el principio de Cavalieri, si la altura y las secciones transversales coinciden, los volúmenes son iguales.
Respuesta: Sí, ambas pilas tienen el mismo volumen aunque una esté inclinada.
Tabla
| Propiedad | Definición | Unidad |
|---|---|---|
| Área | Superficie que delimita al sólido (caras planas o curvas) | cm², m² |
| Volumen | Espacio que ocupa el sólido en tres dimensiones | cm³, m³ |
Diagrama
graph TD
A[Principio de Cavalieri] --> B[Igual altura]
A --> C[Igual área de sección transversal]
B --> D[Mismo volumen]
C --> D
D --> E[Independiente de la forma]
Fórmulas y ecuaciones
V_{@@MATH_0@@\text{sólido 2}} \text{ si } A_{@@MATH_1@@\text{sección 2}} \text{ y } h_1 = h_2
1 \, \text{cm}^{3}
V = \text{número de unidades cúbicas}
Glosario (5)
- Principio de Cavalieri
- Propiedad que afirma que dos sólidos con la misma altura y la misma área de sección transversal en cada nivel tienen el mismo volumen.
- Sección transversal
- Figura que resulta de cortar un sólido con un plano paralelo a su base.
- Volumen
- Espacio que ocupa un cuerpo en tres dimensiones.
- Centímetro cúbico
- Unidad de volumen equivalente al espacio ocupado por un cubo de 1 cm de arista; se escribe cm³.
- Unidad cúbica
- Cubo unitario que se usa como referencia para medir volúmenes.
Preguntas para practicar
¿Por qué el volumen de la pila inclinada no cambia respecto de la pila recta?
Porque ambas pilas están formadas por las mismas hojas y, al cortarlas con planos paralelos a la base, las secciones transversales son idénticas en cada nivel. El principio de Cavalieri garantiza que el volumen se conserva aunque cambie la forma.
¿En qué casos resulta útil el principio de Cavalieri?
Es útil para comparar volúmenes de sólidos con formas distintas pero con igual altura y secciones transversales equivalentes, por ejemplo, un prisma recto y un prisma oblicuo, o un cilindro recto y uno inclinado.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Qué es el principio de Cavalieri y para qué sirve?
¿Cómo se calcula el volumen de un sólido irregular?
¿Cuál es la diferencia entre área y volumen de un sólido geométrico?
- • Concepto de área de figuras planas
- • Unidades de longitud (cm, m)
- • Reconocimiento de cuerpos geométricos (prismas, cilindros)
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1886 caracteres
Principio de Cavalieri
El principio de Cavalieri es un recurso para determinar si dos sólidos poseen el mismo volumen. Para comprender en qué consiste este principio, se realiza un sencillo experimento con una pila de papel que permita calcular el volumen de manera directa. Si se desplazan los papeles de la pila, dan lugar a una figura inclinada tal como se ilustra en la imagen. A pesar de este cambio en la disposición, el volumen de la figura no se altera, ya que está compuesta por los mismos elementos.
Si se trazan planos paralelos a la base, su intersección con ambas pilas resulta cada vez en una sección transversal del mismo tamano. Esta propiedad, en la cual el volumen no cambia, se conoce como principio de Cavalieri, el cual es aplicable a sólidos que tienen la misma altura y la misma sección transversal en cada nivel.
Los sólidos geométricos cuentan con dos propiedades de interés por su utilidad en diferentes aplicaciones: área y volumen. El área se determina a partir de las caras que delimitan el sólido, las cuales pueden ser planas o curvas. Por último, el volumen de los sólidos se determina a partir de la cantidad de unidades cúbicas que lo componen.
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El volumen de un sólido geométrico equivale al espacio que ocupa en el espacio tridimensional. Para medir el volumen, se emplea como referencia la unidad de medida basada en un cubo cuya arista es 1 cm. Esta unidad de volumen es el centímetro cúbico (cm³). En el caso de los prismas, es posible contar directamente los cubos que lo componen, siempre y cuando sean unidades cúbicas completas. Para obtener el volumen de otras figuras existen estrategias adicionales; una de ellas consiste en descomponer la fi gura en partes más sencillas. El principio de Cavalieri permite determinar si dos sólidos tienen el mismo volumen, aunque tengan forma diferente.
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