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Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos: el cubo

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Respuesta rápida

$A_{\text{cara}} = l^{2}$ ; $A_{\text{cubo}} = 6l^{2}$ ; $V_{\text{cubo}} = l^{3}$ . Con $l = 4 \, \text{cm}$ : $16 \, \text{cm}^{2}$ , $96 \, \text{cm}^{2}$ y $64 \, \text{cm}^{3}$ .

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Solución — Página 98

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Desarrollo teórico: del área de una cara al volumen del cubo

Enunciado. Un cuerpo geométrico ocupa un espacio y tiene tres dimensiones (largo o profundidad, ancho y alto); sus caras son figuras geométricas. Se analiza el cubo, cuyas seis caras son cuadrados iguales, y se representa la arista con la letra $l$ .

Se identifica la cara del cubo: es un cuadrado de lado $l$ .
El área de un cuadrado es lado por lado, por lo que se eleva al cuadrado la arista:

$A_{\text{cara}} = l \times l = l^{2}$

El cubo tiene seis caras iguales, así que el área de la superficie total es seis veces el área de una cara:

$A_{\text{cubo}} = 6 \times l^{2} = 6l^{2}$

El volumen resulta de multiplicar las tres dimensiones (largo, ancho y alto), que en el cubo miden lo mismo:

$V_{\text{cubo}} = l \times l \times l = l^{3}$

Respuesta: $A_{\text{cara}} = l^{2}$ , $A_{\text{cubo}} = 6l^{2}$ y $V_{\text{cubo}} = l^{3}$ .

Ejemplo de aplicación

Enunciado. Si la arista de un cubo mide $l = 4 \, \text{cm}$ , calcula el área de una cara, el área total y el volumen.

Área de una cara: $A_{\text{cara}} = l^{2} = (4 \, \text{cm})^{2} = 16 \, \text{cm}^{2}$ .
Área total: $A_{\text{cubo}} = 6l^{2} = 6(16 \, \text{cm}^{2}) = 96 \, \text{cm}^{2}$ .
Volumen: $V_{\text{cubo}} = l^{3} = (4 \, \text{cm})^{3} = 64 \, \text{cm}^{3}$ .

Respuesta: $16 \, \text{cm}^{2}$ , $96 \, \text{cm}^{2}$ y $64 \, \text{cm}^{3}$ .

Verificación: el volumen también se obtiene multiplicando las tres dimensiones: $4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 64 \, \text{cm}^{3}$ .

Contenido de la página

Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Un cuerpo geométrico es un objeto que ocupa un espacio y tiene tres dimensiones: largo o profundidad, anchura y altura. Sus caras son figuras geométricas. Es posible utilizar expresiones algebraicas para representar las áreas de las caras y el volumen de un cuerpo geométrico.

La siguiente figura corresponde a un cubo. Se trata de un cuerpo geométrico con seis caras cuadradas, todas ellas con las mismas dimensiones. La medida de cualquier lado de un cuadrado o arista del cubo se puede representar con cualquier letra; en este caso, se ha elegido la letra $l$ .

Figura: cubo con sus dimensiones señaladas (arista del cubo $l$ , altura, ancho y largo) y, aparte, una de sus caras cuadradas.

Cada cara del cubo es un cuadrado. El área de esa figura se calcula al elevar al cuadrado la longitud de cualquier lado o arista ( $l$ ):

$\text{Área de cada cara} = l \times l = l^{2}$

Como tiene seis caras iguales, entonces el área de la superficie del cubo se obtiene así:

$\text{Área del cubo} = 6l^{2}$

Las seis caras del cubo son cuadradas, por ello, su volumen resulta de multiplicar tres veces la longitud de las aristas, es decir, se eleva al cubo:

$\text{Volumen del cubo} = l \times l \times l = l^{3}$

Ejemplos resueltos

Si la arista de un cubo mide $l = 4 \, \text{cm}$ , calcula el área de una cara, el área total de la superficie y el volumen.

Área de una cara: $A_{\text{cara}} = l^{2} = (4 \, \text{cm})^{2} = 16 \, \text{cm}^{2}$ .
Área total: $A_{\text{cubo}} = 6l^{2} = 6(16 \, \text{cm}^{2}) = 96 \, \text{cm}^{2}$ .
Volumen: $V_{\text{cubo}} = l^{3} = (4 \, \text{cm})^{3} = 64 \, \text{cm}^{3}$ .

Respuesta: $16 \, \text{cm}^{2}$ , $96 \, \text{cm}^{2}$ y $64 \, \text{cm}^{3}$ .

Tabla

Elemento del cubo	Expresión algebraica	Unidad de medida
Área de una cara	$l^{2}$	unidades cuadradas ( $\text{cm}^{2}$ , $\text{m}^{2}$ )
Área total de la superficie	$6l^{2}$	unidades cuadradas ( $\text{cm}^{2}$ , $\text{m}^{2}$ )
Volumen	$l^{3}$	unidades cúbicas ( $\text{cm}^{3}$ , $\text{m}^{3}$ )

Diagrama

graph TD
  A[Cuerpo geométrico] --> B[Tres dimensiones]
  B --> B1[Largo o profundidad]
  B --> B2[Anchura]
  B --> B3[Altura]
  A --> C[Cubo]
  C --> D[6 caras cuadradas iguales]
  D --> E[Arista = l]
  E --> F[Área de una cara = l²]
  F --> G[Área del cubo = 6l²]
  E --> H[Volumen del cubo = l³]

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Área de cada cara}$ = $l^{2}$

$\text{Área del cubo}$ = $6l^{2}$

$\text{Volumen del cubo}$ = $l^{3}$

$A_{$ $\text{cara}$ } = l $\times$ l = $l^{2}$

$A_{$ $\text{cubo}$ } = $6l^{2}$

$V_{$ $\text{cubo}$ } = l $\times$ l $\times$ l = $l^{3}$

Glosario (6)

Cuerpo geométrico: Objeto que ocupa un espacio y tiene tres dimensiones: largo o profundidad, anchura y altura.
Cara: Cada una de las figuras geométricas planas que limitan un cuerpo geométrico.
Arista: Línea donde se cortan dos caras de un cuerpo geométrico; en el cubo, es la medida de su lado.
Cubo: Cuerpo geométrico con seis caras cuadradas iguales.
Área: Medida de la superficie de una figura o de las caras de un cuerpo.
Volumen: Medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico.

Preguntas para practicar

¿Por qué el área total del cubo se escribe como $6l^{2}$ y no como $l^{2}$?

Porque el cubo tiene seis caras y todas son cuadrados iguales de lado $l$. El área de una cara es $l^{2}$; al sumar las seis caras iguales se obtiene $6l^{2}$. Así, el coeficiente 6 representa el número de caras y $l^{2}$ el área de cada una.

¿Qué diferencia hay entre el área y el volumen de un cuerpo geométrico?

El área mide la superficie que cubren las caras y se expresa en unidades cuadradas (por ejemplo, $\text{cm}^{2}$). El volumen mide el espacio que ocupa el cuerpo y se expresa en unidades cúbicas (por ejemplo, $\text{cm}^{3}$). Por eso el área del cubo es $6l^{2}$ y su volumen es $l^{3}$.

Temas y conceptos clave

Cuerpos geométricosÁrea de una cara del cuboÁrea total de la superficie del cuboVolumen del cuboExpresiones algebraicas para áreas y volúmenesCuerpo geométricoCaraAristaCuboÁreaVolumenPotencia al cuadrado y al cubo

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el área total de un cubo?

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¿Cuál es la diferencia entre área de una cara y área de la superficie del cubo?

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¿Cómo se obtiene el volumen de un cubo a partir de su arista?

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📌 Antes de leer esto

• Área del cuadrado
• Multiplicación y potenciación de números
• Nociones de largo, ancho y alto
• Uso de letras para representar medidas

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Cálculo del área y volumen de prismas rectangulares y cilindros

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Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Un cuerpo geométrico es un objeto que ocupa un espacio y tiene tres dimensiones:largo o profundidad, anchura y altura. Sus caras son figuras geométricas. Es posible utilizar expresiones algebraicas para representar las áreas de las caras y el volumen de un cuerpo geométrico.

La siguiente figura corresponde a un cubo. Se trata de un cuerpo geométrico con seis caras cuadradas, todas ellas con las mismas dimensiones. La medida de cualquier lado de un cuadrado o arista del cubo se puede representar con cualquier letra; en este caso, se ha elegido la letra l.

Una cara del cubo

Cada cara del cubo es un cuadrado. El área de esa figura se calcula al elevar al cuadrado la longitud de cualquier lado o arista (l):

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{~de}\mathrm{~c}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{~c}\mathrm{r}\mathrm{a}=\mathrm{l}\times\mathrm{l}=\mathrm{l}^{2}$

Como tiene seis caras iguales, entonces el área de la superficie del cubo se obtiene así:

Area del cubo = 6l2

Las seis caras del cubo son cuadradas, por ello, su volumen resulta de multiplicar tres veces la longitud de las aristas, es decir, se eleva al cubo:

Volumen del cubo $l\times l\times l=l^{3}$

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