Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1

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Alturas, ortocentro, medianas y baricentro de un triángulo

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Respuesta rápida

Ortocentro: corte de las alturas (puede estar fuera). Baricentro: corte de las medianas (siempre dentro). Para equidistar de 3 puntos se usa el circuncentro (mediatrices).

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 174

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Alturas y ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado (o a su prolongación) que pasan por el vértice opuesto. Pueden quedar dentro o fuera del triángulo. El punto donde se cortan las tres alturas se llama ortocentro y se denota con $O$ .

Trazo con escuadra

Se prolongan los lados $AB$ y $BC$ .
Se trazan rectas perpendiculares a cada lado (o su prolongación) que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro $O$ en la intersección de las tres alturas.

Respuesta orientativa: En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo, porque dos alturas caen sobre las prolongaciones de los lados.

Medianas y baricentro

Las medianas son las rectas que pasan por el punto medio de cada lado y el vértice opuesto. El punto donde se cortan se llama baricentro y se denota con $G$ .

Respuesta orientativa: El baricentro siempre está dentro del triángulo y divide cada mediana en dos segmentos: uno que va del vértice a $G$ mide $\frac{2}{3}$ de la mediana, y el otro, de $G$ al punto medio, mide $\frac{1}{3}$ .

Aplicación: el hospital

Se ubican tres localidades como vértices de un triángulo. El punto que equidista de los tres vértices es el circuncentro (intersección de las mediatrices), no el baricentro. El baricentro es el centro de gravedad y equidista de los vértices solo en triángulos equiláteros.

Respuesta orientativa: Para que el hospital quede a la misma distancia de las tres localidades se deben trazar las mediatrices de los lados y localizar el circuncentro; el baricentro solo coincidiría si el triángulo fuera equilátero.

Contenido de la página

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo o su prolongación y pasan por el vértice opuesto. Dichas alturas pueden estar dentro o fuera del triángulo. Al punto donde se cortan las alturas de un triángulo se le denomina ortocentro. A continuación, se muestra cómo trazar las alturas de un triángulo con apoyo de una escuadra.

Se prolongan los lados $AB$ y $BC$ .
Se trazan rectas perpendiculares a cada lado o prolongación de éste, que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro $O$ en la intersección de las alturas del triángulo.

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por el punto medio de cada lado y su vértice opuesto; el punto donde se cortan o intersecan se llama baricentro, y se denota como $G$ . Se muestra un ejemplo en la imagen de la derecha.

El trazo de rectas especiales en un triángulo permite localizar puntos notables que cumplen con propiedades específicas. Estas rectas y puntos notables son de gran utilidad en la arquitectura, el diseño, el arte y otras áreas.

Por ejemplo, cuando se desea construir un hospital a la misma distancia de tres localidades, en un plano se identifica cada una, se traza un triángulo y se localiza el baricentro, el cual sería el lugar ideal para construir el hospital.

Ejemplos resueltos

En un triángulo, la mediana desde el vértice A mide 9 cm. ¿Cuánto mide el segmento del vértice A al baricentro G?

El baricentro divide la mediana en razón $2:1$ .

$\overline{AG} = \frac{2}{3}\,\overline{AM}$
$\overline{AG} = \frac{2}{3}(9\,\text{cm})$
$\overline{AG} = 6\,\text{cm}$

Respuesta: $6\,\text{cm}$ .

Tabla

Recta notable	Definición	Punto de corte	Notación
Altura	Perpendicular a un lado (o su prolongación) por el vértice opuesto	Ortocentro	$O$
Mediana	Del vértice al punto medio del lado opuesto	Baricentro	$G$

Diagrama

graph TD
  A[Rectas notables del triángulo] --> B[Alturas]
  A --> C[Medianas]
  B --> D[Perpendicular a cada lado por el vértice opuesto]
  D --> E[Ortocentro O]
  C --> F[Del vértice al punto medio del lado opuesto]
  F --> G[Baricentro G]

Fórmulas y ecuaciones

$\overline{AG}$ : $\overline{GM}$ = 2 : 1

$\overline{AG}$ = $\frac{2}{3}$ $\$ , $\overline{AM}$

$\overline{GM}$ = $\frac{1}{3}$ $\$ , $\overline{AM}$

Glosario (5)

Altura: Recta perpendicular a un lado del triángulo (o a su prolongación) que pasa por el vértice opuesto.
Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo; se denota con O.
Mediana: Recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro: Punto donde se cortan las tres medianas; se denota con G y es el centro de gravedad del triángulo.
Punto notable: Punto de intersección de un tipo de rectas notables del triángulo, con propiedades geométricas especiales.

Preguntas para practicar

¿Por qué en un triángulo obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo?

Porque en un triángulo obtusángulo dos de las alturas caen sobre las prolongaciones de los lados, ya que la perpendicular desde el vértice opuesto no toca el lado en su interior. Por eso su intersección, el ortocentro, se localiza fuera de la región triangular.

¿El baricentro es el punto que equidista de las tres localidades del ejemplo del hospital? Explica.

No. El punto que equidista de los tres vértices es el circuncentro, que se obtiene al trazar las mediatrices de los lados. El baricentro es el centro de gravedad y solo coincide con el circuncentro cuando el triángulo es equilátero.

Temas y conceptos clave

Alturas de un triánguloOrtocentroMedianas de un triánguloBaricentroAplicaciones de los puntos notablesAlturaOrtocentroMedianaBaricentroPunto notablePerpendicularPunto medio

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Figuras de la página (2)

Triángulo ABC con las tres alturas trazadas con escuadra; las líneas punteadas prolongan los lados y las alturas se cortan en el ortocentro O, ubicado fuera del triángulo. — Figura 1 image

Triángulo ABC con las tres medianas trazadas en rojo; se cortan en el baricentro G, ubicado dentro del triángulo. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cuál es la diferencia entre ortocentro y baricentro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se traza el ortocentro de un triángulo obtusángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué punto equidista de los tres vértices de un triángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Tipos de triángulos
• Rectas perpendiculares
• Punto medio de un segmento
• Uso de la escuadra y regla

Siguiente tema sugerido

Mediatrices, circuncentro e incentro de un triángulo

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1383 caracteres

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada lado del triángulo o su prolongación y pasan por el vértice opuesto. Dichas alturas pueden estar dentro o fuera del triángulo. Al punto donde se cortan las alturas de un triángulo se le denomina ortocentro. A continuación, se muestra cómo trazar las alturas de un triángulo con apoyo de una escuadra.

Se prolongan los lados AB y BC.
Se trazan rectas perpendiculares a cada lado o prolongación de éste, que pasen por el vértice opuesto.
Se localiza el ortocentro O en la intersección de las alturas del triángulo.

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por el punto medio de cada lado y su vértice opuesto, el punto donde se cortan o intersecan se lama baricentro, y se denota como G. Se muestra un ejemplo en la imagen de la derecha.

El trazo de rectas especiales en un triángulo permite localizar puntos notables que cumplen con propiedades especifi cas. Estas rectas y puntos notables son de gran utilidad en la arquitectura, el diseño, el arte y otras áreas.

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