Contexto de la página

Esta página es la apertura del tema Rectas notables. No contiene ejercicios; presenta una situación real (una estructura triangular sostenida sobre una columna) y define el objeto matemático central: las medianas y su punto de intersección, el baricentro o centro de gravedad.

Explicación del contenido

Se desea apoyar una estructura con forma de triángulo sobre una sola columna, cuya base superior es mucho más pequeña que la base del triángulo. Para que el triángulo no voltee, la columna debe colocarse exactamente bajo su centro de gravedad.

En un triángulo \triangle ABC, la mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

• Mediana desde A: une A con el punto medio de \overline{BC}.
• Mediana desde B: une B con el punto medio de \overline{AC}.
• Mediana desde C: une C con el punto medio de \overline{AB}.

Las tres medianas de cualquier triángulo se cortan en un único punto llamado baricentro (G). Ese punto es el centro de gravedad del triángulo, es decir, el punto donde se equilibra una lámina triangular homogénea. Por eso la columna debe ubicarse justo ahí.

El baricentro divide cada mediana en dos segmentos en razón 2:1, medidos desde el vértice:

AG = \frac{2}{3}\,AM_a, \qquad GM_a = \frac{1}{3}\,AM_a

donde M_a es el punto medio del lado \overline{BC}.

Si los vértices son A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) y C(x_3,y_3), entonces:

G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\; \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

Respuesta orientativa: Las medianas son las rectas notables que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto; las tres concurren en el baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo y el punto donde debe apoyarse la columna para lograr equilibrio.