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Bisectrices e incentro de un triángulo: circunferencia inscrita

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Respuesta rápida

El incentro $I$ es la intersección de las bisectrices; equidista de los lados. La circunferencia inscrita tiene centro $I$ y radio $ID$ , donde $D$ es el pie de la perpendicular a un lado.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 173

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1

Trazar las bisectrices $r$ , $s$ y $t$ del triángulo.

Con centro en cada vértice y un mismo radio auxiliar, se trazan arcos que cortan los dos lados del ángulo.
Desde esos puntos de corte se trazan arcos de igual radio que se intersecan.
La recta que une el vértice con esa intersección es la bisectriz del ángulo.

Respuesta orientativa: se obtienen tres rectas $r$ , $s$ y $t$ , una por cada ángulo del triángulo.

Paso 2

Localizar el incentro $I$ , punto de intersección de las bisectrices.

Se prolongan las bisectrices $r$ , $s$ y $t$ hasta que se corten.
El punto común de las tres es el incentro $I$ .

Respuesta orientativa: $I$ equidista de los tres lados del triángulo y siempre queda dentro de él.

Paso 3

Trazar una perpendicular a un lado que pase por $I$ y ubicar el punto $D$ .

Se apoya la escuadra sobre el lado elegido, por ejemplo $\overline{AC}$ .
Se desliza hasta que el otro cateto pase por $I$ y se traza la perpendicular.
El punto donde esa perpendicular corta al lado es $D$ .

Respuesta orientativa: $ID$ es la distancia del incentro al lado y será el radio de la circunferencia inscrita.

Paso 4

Trazar la circunferencia inscrita con centro en $I$ y radio $ID$ .

Se abre el compás con la medida $ID$ .
Con centro en $I$ se traza la circunferencia.
Esta circunferencia toca los tres lados en un punto y queda dentro del triángulo.

Respuesta orientativa: la circunferencia inscrita tiene centro en el incentro $I$ y radio $r = ID$ .

Nota: el texto dice "circunferencia circunscrita", pero por los pasos descritos se trata de la circunferencia inscrita.

Contenido de la página

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que cortan por la mitad a cada uno de sus ángulos. Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, que se encuentra a igual distancia de los lados del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que se encuentra dentro del triángulo y toca en un punto a cada uno de sus lados.

Enseguida se muestra cómo trazar la circunferencia inscrita de un triángulo.

Trazar las bisectrices $r$ , $s$ y $t$ del triángulo.
Localizar el incentro $I$ , que es el punto de intersección de las bisectrices.
Con apoyo de una escuadra, trazar una recta perpendicular a uno de sus lados que pase por el incentro $I$ , como se muestra en la imagen, y ubicar el punto $D$ en la intersección del lado y la perpendicular.
Con centro en $I$ trazar la circunferencia inscrita con radio $ID$ .

El incentro siempre estará dentro del triángulo.

Ejemplos resueltos

Dado un triángulo $ABC$ , traza su circunferencia inscrita.

Se trazan las bisectrices de $\angle A$ , $\angle B$ y $\angle C$ ; se llaman $r$ , $s$ y $t$ .
Se localiza el incentro $I$ en la intersección de $r$ , $s$ y $t$ .
Con la escuadra se traza la perpendicular al lado $\overline{AC}$ que pasa por $I$ ; el pie es $D$ .
Con centro en $I$ y radio $ID$ se traza la circunferencia inscrita.

Tabla

Elemento	Definición	Centro
Circunferencia inscrita	Tangente a los tres lados, dentro del triángulo	Incentro (bisectrices)
Circunferencia circunscrita	Pasa por los tres vértices	Circuncentro (mediatrices)

Diagrama

flowchart TD
  A[Triángulo ABC] --> B[Trazar bisectrices r, s y t]
  B --> C[Localizar incentro I]
  C --> D[Trazar perpendicular por I a un lado]
  D --> E[Ubicar punto D en el lado]
  E --> F[Circunferencia inscrita con centro I y radio ID]

Fórmulas y ecuaciones

r = ID = $\text{distancia del incentro a cualquier lado}$

$\angle$ ABI = $\angle$ IBC

d(I, $\overline{AB}$ ) = d(I, $\overline{BC}$ ) = d(I, $\overline{CA}$ ) = ID

Glosario (5)

Bisectriz: Recta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida.
Incentro: Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo; centro de la circunferencia inscrita.
Circunferencia inscrita: Circunferencia interior al triángulo que es tangente a sus tres lados.
Perpendicular: Recta que forma un ángulo de $90^\circ$ con otra.
Radio: Segmento que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de ella.

Preguntas para practicar

¿Por qué el incentro siempre está dentro del triángulo?

Porque las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo son segmentos que parten de cada vértice hacia el interior y siempre se cortan en un punto común interior. Al ser el centro de la circunferencia inscrita, debe estar dentro para poder ser tangente a los tres lados.

¿Qué diferencia hay entre la circunferencia inscrita y la circunscrita?

La inscrita está dentro del triángulo, es tangente a sus tres lados y su centro es el incentro. La circunscrita pasa por los tres vértices, contiene al triángulo y su centro es el circuncentro, intersección de las mediatrices.

Temas y conceptos clave

Bisectrices de un triánguloIncentroCircunferencia inscritaConstrucciones con regla y compásBisectriz: recta que divide un ángulo en dos ángulos igualesIncentro: punto de intersección de las tres bisectricesEl incentro equidista de los tres ladosCircunferencia inscrita: tangente a los tres lados, con centro en el incentroEl incentro siempre está dentro del triángulo

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Figuras de la página (4)

Triángulo con trazo de las tres bisectrices usando compás; se marcan arcos auxiliares en cada vértice. — Figura 1 image

Triángulo con las bisectrices r, s y t ya trazadas y el incentro I señalado en su intersección. — Figura 2 image

Uso de la escuadra para trazar la perpendicular al lado AC que pasa por I; se marca el punto D. — Figura 3 image

Circunferencia inscrita trazada con centro en I y radio ID, tangente a los tres lados del triángulo. — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se traza el incentro de un triángulo paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre circunferencia inscrita y circunscrita?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el incentro siempre está dentro del triángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Uso de regla, compás y escuadra
• Concepto de ángulo y su medida
• Trazado de rectas perpendiculares
• Elementos básicos del triángulo: lados, vértices y ángulos

Siguiente tema sugerido

Circunferencia circunscrita y circuncentro de un triángulo

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1089 caracteres

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que cortan por la mitad a cada uno de sus ángulos. Las bisectrices se cortan en un punto lamado incentro, que se encuentra a igual distancia de los lados del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que se encuentra dentro del triángulo y toca en un punto a cada uno de sus lados.

Enseguida se muestra cómo trazar la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Trazar las bisectrices r, s y t del triángulo.
Localizar el incentro I, que es el punto de intersección de las bisectrices.

3.Con apoyo de una escuadra, trazar una recta perpendicular a uno de sus lados que pase por el incentro I,como se muestra en la imagen, y ubicar el punto D en la intersección del lado y la perpendicular.

4.Con centro en I trazar la circunferencia inscrita con radio ID.

El incentro siempre estarádentro del triángulo.

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