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Trazo de rectas notables en triángulos: mediatrices y circuncentro

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Respuesta rápida

Las mediatrices son perpendiculares por el punto medio de cada lado. Su intersección es el circuncentro $C$ , con $CX=CY=CZ$ , centro de la circunferencia circunscrita.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 172

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 1

Trazar las mediatrices $l$ , $m$ y $n$ del triángulo.

Se identifica el punto medio de cada lado del triángulo $XYZ$ .
Por cada punto medio se traza una recta perpendicular al lado correspondiente.
Se obtienen las tres mediatrices: $l$ (perpendicular a $YZ$ ), $m$ (perpendicular a $XZ$ ) y $n$ (perpendicular a $XY$ ).

Respuesta orientativa: cada mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un lado; al trazarlas se obtienen tres rectas que se cortan en un único punto.

Paso 2

Localizar el circuncentro $C$ , que es el punto de intersección de las mediatrices.

Se prolongan las rectas $l$ , $m$ y $n$ hasta que se corten entre sí.
El punto común de las tres mediatrices se nombra $C$ .
Por ser el punto de intersección de las mediatrices, $C$ equidista de los tres vértices: $CX = CY = CZ$ .

Respuesta orientativa: el circuncentro $C$ es el punto donde concurren las tres mediatrices y cumple $CX = CY = CZ$ .

Paso 3

A partir del circuncentro $C$ , trazar la circunferencia circunscrita con radio $CX$ , $CY$ o $CZ$ .

Se abre el compás con centro en $C$ y radio $CX$ (o $CY$ , o $CZ$ ; el valor es el mismo).
Se gira el compás y se traza la circunferencia.
La circunferencia pasa exactamente por los tres vértices $X$ , $Y$ y $Z$ del triángulo.

Respuesta orientativa: la circunferencia circunscrita tiene centro en $C$ y radio $r = CX = CY = CZ$ , por lo que toca los tres vértices del triángulo.

Observación final

El circuncentro puede estar dentro del triángulo (triángulo acutángulo), fuera de él (triángulo obtusángulo) o sobre uno de sus lados (triángulo rectángulo, donde coincide con el punto medio de la hipotenusa).

Contenido de la página

Trazo de rectas notables en triángulos

Existen rectas especiales que se pueden trazar en un triángulo y que ayudan a localizar puntos notables del mismo, como el centro de gravedad. Trazar cuatro diferentes tipos de rectas especiales para que su intersección permita la localización de los puntos notables es un conocimiento imprescindible para comprender las propiedades de los triángulos.

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados.

Al trazar las mediatrices de un triángulo, en su intersección se obtiene un punto notable que se denomina circuncentro. Este punto es la intersección de las tres mediatrices. El circuncentro está ubicado a la misma distancia de los tres vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que toca los tres vértices del triángulo.

A continuación, se muestra cómo trazar la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Trazar las mediatrices $l$ , $m$ y $n$ del triángulo.
Localizar el circuncentro $C$ , que es el punto de intersección de las mediatrices.
A partir del circuncentro $C$ trazar la circunferencia circunscrita con radio $CX$ , $CY$ o $CZ$ .

El circuncentro puede estar dentro o fuera del triángulo, o también sobre uno de sus lados, como en el ejemplo anterior.

Ejemplos resueltos

Dado un triángulo $XYZ$ , trazar su circunferencia circunscrita.

Se trazan las mediatrices $l$ , $m$ y $n$ de los lados $YZ$ , $XZ$ y $XY$ , respectivamente.
Se localiza el punto de intersección $C$ de las tres mediatrices (circuncentro).
Con centro en $C$ y radio $CX = CY = CZ$ se traza la circunferencia, que pasa por los tres vértices.

Tabla

Elemento	Definición	Propiedad
Mediatriz	Recta perpendicular al lado por su punto medio	Todo punto de ella equidista de los extremos del lado
Circuncentro	Intersección de las tres mediatrices	Equidista de los tres vértices
Circunferencia circunscrita	Circunferencia con centro en el circuncentro	Pasa por los tres vértices del triángulo

Diagrama

flowchart TD
  A[Rectas notables del triángulo] --> B[Mediatrices]
  B --> C[Se trazan perpendiculares por el punto medio de cada lado]
  C --> D[Se cortan en el circuncentro C]
  D --> E[Centro de la circunferencia circunscrita]
  E --> F[Pasa por los tres vértices: CX = CY = CZ]

Fórmulas y ecuaciones

CX = CY = CZ

r = CX

Glosario (4)

Mediatriz: Recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.
Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo; equidista de los tres vértices.
Circunferencia circunscrita: Circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo y tiene centro en el circuncentro.
Punto notable: Punto de intersección de un tipo de rectas notables de un triángulo (circuncentro, baricentro, ortocentro, incentro).

Preguntas para practicar

¿Por qué el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo?

Porque todo punto que pertenece a la mediatriz de un segmento está a la misma distancia de los extremos de ese segmento. Al estar $C$ en las tres mediatrices, cumple $CX = CY$, $CY = CZ$ y $CZ = CX$, por lo que las tres distancias son iguales.

¿En qué tipo de triángulo el circuncentro se ubica sobre uno de sus lados?

En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa, por lo que queda sobre uno de los lados del triángulo.

Temas y conceptos clave

Rectas notables en triángulosMediatricesCircuncentroCircunferencia circunscritaMediatrizCircuncentroCircunferencia circunscritaPunto notableEquidistancia

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Figuras de la página (3)

Triángulo $XYZ$ con las mediatrices $l$, $m$ y $n$ trazadas y la circunferencia circunscrita punteada. — Figura 1 image

Triángulo $XYZ$ con las mediatrices $l$, $m$ y $n$ y el circuncentro $C$ marcado en su intersección. — Figura 2 image

Triángulo $XYZ$ con el circuncentro $C$ y la circunferencia circunscrita trazada con radio $CX$, $CY$ o $CZ$. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el circuncentro y cómo se localiza?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre mediatriz y mediana?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Dónde puede estar ubicado el circuncentro de un triángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de triángulo y sus elementos
• Punto medio de un segmento
• Rectas perpendiculares
• Uso del compás y la regla

Siguiente tema sugerido

Alturas, medianas y bisectrices: ortocentro, baricentro e incentro

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1472 caracteres

Trazo de rectas notables en triángulos

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados.

Al trazar las mediatrices de un triángulo, en su intersección se obtiene un punto notable que se denomina circuncentro. Este punto es la intersección de las tres mediatrices. El circuncentro está ubicado a la misma distancia de los tres vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que toca los tres vértices del triángulo.

A continuación, se muestra cómo trazar la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Trazar las mediatrices l, m y n del triángulo.
A partir del circuncentro C trazar la circunferencia circunscrita con radio CX, CYo CZ.
Localizar el circuncentro C, que es el punto de intersección de las mediatrices.

El circuncentro puede estar dentro o fuera del triángulo, o también sobre uno de sus lados, como en el ejemplo anterior.

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