Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1

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Razón, proporción y proporcionalidad en el plano cartesiano

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Respuesta rápida

Razón: $\frac{a}{b}=k$ . Proporción: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ . Directa: recta, $\frac{a}{b}=k$ . Inversa: hipérbola, $ab=k$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 170

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Contenido teórico

La página no presenta ejercicios con datos numéricos; es una exposición conceptual. Se resuelve explicando y ejemplificando cada definición.

Ejercicio 1

Graficar puntos en el plano cartesiano

Un punto se ubica con sus coordenadas $(x, y)$ :

En el eje $x$ : negativos a la izquierda, positivos a la derecha.
En el eje $y$ : positivos hacia arriba, negativos hacia abajo.

Al unir los puntos:

Proporcionalidad directa $\Rightarrow$ recta.
Proporcionalidad inversa $\Rightarrow$ hipérbola (curva que se acerca a los ejes).

Ejercicio 2

Razón

Una razón compara dos cantidades mediante una constante:

$\frac{a \rightarrow \text{antecedente}}{b \rightarrow \text{consecuente}} = k \rightarrow \text{cociente}$

Se lee " $a$ es a $b$ ".

Ejemplo: Si $a=6$ y $b=3$ , entonces $k=\frac{6}{3}=2$ .

Ejercicio 3

Proporción

Una proporción compara dos razones:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Se lee " $a$ es a $b$ como $c$ es a $d$ ".

Ejemplo: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = 0.5$ .

Ejercicio 4

Proporcionalidad directa

Si dos magnitudes son directamente proporcionales, al aumentar una, la otra aumenta en la misma razón:

$\frac{a}{b} = k$

Ejemplo: Si 1 kg de tortillas cuesta $\$ 22 $, entonces 3 kg cuestan$ $66$ ; la constante es $k=22$ .

Ejercicio 5

Proporcionalidad inversa

La constante se obtiene como producto:

$ab = k$

Si una magnitud aumenta, la otra disminuye en la misma proporción.

Ejemplo: Si 4 obreros tardan 6 días, $k=4\times 6=24$ . Con 8 obreros: $8\times t=24 \Rightarrow t=3$ días.

Ejercicio 6

Tabla y gráfica

Se sugiere organizar los datos en una tabla de dos filas (términos $a$ y términos $b$ ). Cada par ordenado $(a,b)$ se grafica como punto: $A(a,b)$ y $B(c,d)$ . La unión de varios puntos da una recta (proporcionalidad directa) o una hipérbola (inversa).

Respuesta orientativa: La página enseña a distinguir razón, proporción y los dos tipos de proporcionalidad, y a representarlas en tabla y plano cartesiano.

Contenido de la página

Para graficar un punto en el plano cartesiano, se utilizan sus coordenadas en los ejes $x$ y $y$ ; se debe prestar atención al signo: los números negativos en $x$ siempre van a la izquierda y los positivos a la derecha; en el eje $y$ , los positivos hacia arriba y los negativos hacia abajo. Una vez colocados todos los puntos, se unen mediante una línea.

Si la relación es proporcional, la gráfica que se forma es una recta; pero si es de proporcionalidad inversa, forma una curva que tiende a acercarse a los ejes cartesianos. Esta curva abierta representa una parte de una hipérbola.

Una razón es la comparación de dos cantidades relacionadas por una constante:

$\frac{a \rightarrow \text{antecedente}}{b \rightarrow \text{consecuente}} = k \rightarrow \text{cociente}$

Se lee " $a$ es a $b$ ".

Una proporción es la comparación de dos razones:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Se lee " $a$ es a $b$ como $c$ es a $d$ ".

Si son proporcionales, los términos de las razones incrementarán o decrecerán en la misma razón:

$\frac{a}{b} = k$

Si son de proporcionalidad inversa, la constante $k$ se calcula como un producto. Si incrementan los valores de un conjunto de datos, disminuirán los del otro en la misma proporción:

$ab = k$

Siempre es conveniente representar la información en una tabla.

Términos $a$
Términos $b$

Los datos de una tabla se pueden representar como puntos en el plano cartesiano; $A(a,b)$ y $B(c,d)$ . La unión de varios puntos forma una gráfica: será una recta si es una relación de proporcionalidad o una hipérbola si es una relación de proporcionalidad inversa.

Ejemplos resueltos

Si 4 obreros tardan 6 días en una obra, ¿cuánto tardarán 8 obreros?

Es proporcionalidad inversa: $ab=k@@MATH_0@@.\n2$ . Con 8 obreros: $8\times t=24@@MATH_1@@.\n\n**Respuesta:**$ 3 días.

Tabla

Términos $a$
Términos $b$

Diagrama

graph LR
  A[Razón] --> B[Comparación de dos cantidades]
  B --> C[\frac{a}{b}=k]
  D[Proporción] --> E[Igualdad de dos razones]
  E --> F[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k]
  G[Proporcionalidad directa] --> H[Recta]
  I[Proporcionalidad inversa] --> J[Hipérbola]
  J --> K[ab=k]

Fórmulas y ecuaciones

$\frac{a}{b}$ =k

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ =k

ab=k

$\frac{a}{b}$ =k

$\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$ =k

ab=k

Glosario (6)

Razón: Comparación de dos cantidades mediante un cociente constante.
Proporción: Igualdad entre dos razones.
Antecedente: Primer término de una razón (numerador).
Consecuente: Segundo término de una razón (denominador).
Constante de proporcionalidad: Valor k que relaciona dos magnitudes proporcionales.
Hipérbola: Curva abierta que representa una relación de proporcionalidad inversa.

Preguntas para practicar

¿Por qué la gráfica de una proporcionalidad inversa es una hipérbola y no una recta?

Porque al aumentar una magnitud, la otra disminuye de forma que su producto permanece constante; los puntos obtenidos no siguen una pendiente fija, sino que se acercan a los ejes sin tocarlos, formando una curva abierta llamada hipérbola.

Temas y conceptos clave

Plano cartesianoRazónProporciónProporcionalidad directaProporcionalidad inversaAntecedenteConsecuenteCociente kConstante de proporcionalidadHipérbolaRecta

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Preguntas que la gente también hace

¿Cuál es la diferencia entre razón y proporción?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se ve una gráfica de proporcionalidad inversa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad k?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ubicación de puntos en el plano cartesiano
• Operaciones básicas con fracciones
• Noción de variable y constante

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas de proporcionalidad directa e inversa con tablas y gráficas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1769 caracteres

Para graficar un punto en el plano cartesiano, se utilizan sus coordenadas en los ejes x y y; se debe prestar atención al signo: los números negativos en x siempre van a la izquierda y los positivos a la derecha; en el eje y, los positivos hacia arriba y los negativos hacia abajo. Una vez colocados todos los puntos, se unen mediante una linea.

Una razón es la comparación de dos cantidades relacionadas por una constante:

$\frac{a\rightarrow\text{anothercedente}}{b\rightarrow\text{ConseCuente}}=k\rightarrow\text{coordinate}$

Se lee $\text{"}a$ es $a b^{n}$

Una proporción es la comparación de dos razones:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k u$

Se lee $\text{"}a$ esab comoc es a $d^{\prime\prime}$

Si son proporcionales, los términos de las razones incrementarán o decrecerán en la misma razón:

$\frac{a}{b}=k$

Si son de proporcionalidad inversa, la constante k se calcula como un producto. Si incrementan los valores de un conjunto de datos, disminuirán los del otro en la misma proporción:

$ab=k$

Siempre es conveniente representar la información en una tabla.

Los datos de una tabla se pueden representar como puntos en el plano cartesiano; $A(a,b)yB(c,d)$ 1.La unión de varios puntos forma una gráfica: será una recta si es una relación de proporcionalidad o una hipérbola si es una relación de proporcionalidad inversa.

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