Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1

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Ecuaciones de la forma Ax = B y propiedades de la igualdad

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Respuesta rápida

Propiedades: $a+c=b+c$ y $ac=bc$ con $c\ne 0$ . Inversos: $c+(-c)=0$ y $c\times\frac{1}{c}=1$ . Ejemplo: $3x=12 \Rightarrow x=4$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 180

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Contenido teórico

Una ecuación de la forma $Ax = B$ tiene una sola incógnita, normalmente $x$ . Los valores $A$ y $B$ son constantes numéricas conocidas. El valor de $x$ que hace verdadera la igualdad se llama solución de la ecuación y se obtiene aplicando suma, resta, multiplicación o división.

Propiedad aditiva de la igualdad

Para cualesquiera números reales $a$ , $b$ y $c$ : si $a = b$ , entonces sumar la misma cantidad $c$ a ambos lados conserva la igualdad:

$a + c = b + c$

Esta propiedad justifica «pasar restando» o «pasar sumando» un término al otro miembro.

Propiedad multiplicativa de la igualdad

Para cualesquiera números reales $a$ , $b$ y $c$ con $c \ne 0$ : si $a = b$ , entonces multiplicar ambos lados por la misma cantidad $c$ conserva la igualdad:

$ac = bc$

Esta propiedad justifica «pasar dividiendo» o «pasar multiplicando» un factor al otro miembro.

Inverso aditivo

Todo número real $c$ tiene un inverso aditivo $-c$ tal que:

$c + (-c) = 0$

Inverso multiplicativo

Todo número real $c \ne 0$ tiene un inverso multiplicativo $\frac{1}{c}$ tal que:

$c \times \frac{1}{c} = 1$

Ejemplo de aplicación

Resolver $3x = 12$ .

Se identifica $A = 3$ y $B = 12$ .
Se aplica el inverso multiplicativo de $3$ , que es $\frac{1}{3}$ , en ambos lados: $\frac{1}{3} \cdot 3x = \frac{1}{3} \cdot 12$ .
Se simplifica: $x = 4$ .

Respuesta: $x = 4$ .

Ejemplo con propiedad aditiva

Resolver $x + 5 = 9$ .

Se suma el inverso aditivo de $5$ , que es $-5$ , en ambos lados: $x + 5 + (-5) = 9 + (-5)$ .
Se simplifica: $x = 4$ .

Respuesta: $x = 4$ .

Contenido de la página

Las ecuaciones de la forma $Ax = B$ sólo contienen una incógnita, por lo general $x$ . $A$ y $B$ se llaman constantes numéricas y su valor es conocido. La literal $x$ se calcula por medio de operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación y división. Al valor de la incógnita que cumpla con la igualdad se le nombra solución de la ecuación.

Las operaciones matemáticas por realizar para despejar a $x$ están basadas en las propiedades de la igualdad:

Propiedad aditiva de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a$ , $b$ y $c$ , si $a = b$ , entonces la suma de $a$ y $c$ será igual a la suma de $b$ y $c$ . Es decir:

$a + c = b + c$

Propiedad multiplicativa de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a$ , $b$ y $c$ , donde $c$ es diferente de cero, si $a$ es igual a $b$ , entonces el producto de $a$ y $c$ será igual al producto de $b$ y $c$ . En otras palabras:

$ac = bc$

En ambos casos se suman o multiplican los términos de la ecuación por una cantidad, ésta puede ser:

Inverso aditivo: todo número real $c$ tiene un inverso aditivo que es $-c$ , de tal forma que siempre se cumple $c + (-c) = 0$ .
Inverso multiplicativo: todo número real $c$ tiene un inverso multiplicativo que es $\frac{1}{c}$ , de tal forma que, siempre y cuando $c$ sea diferente de cero:

$c \times \frac{1}{c} = 1$

Ejemplos resueltos

Resolver la ecuación $3x = 12$ .

Se identifica $A = 3$ y $B = 12$ . Se aplica el inverso multiplicativo de $3$ en ambos lados: $\frac{1}{3} \cdot 3x = \frac{1}{3} \cdot 12$ . Al simplificar se obtiene $x = 4$ .

Resolver la ecuación $x + 5 = 9$ .

Se suma el inverso aditivo de $5$ , que es $-5$ , en ambos lados: $x + 5 + (-5) = 9 + (-5)$ . Al simplificar se obtiene $x = 4$ .

Tabla

Propiedad	Expresión	Condición
Aditiva de la igualdad	$a + c = b + c$	$a = b$
Multiplicativa de la igualdad	$ac = bc$	$a = b$ , $c \ne 0$
Inverso aditivo	$c + (-c) = 0$	$c \in \mathbb{R}$
Inverso multiplicativo	$c \times \frac{1}{c} = 1$	$c \ne 0$

Diagrama

graph TD
  A[Ecuación Ax = B] --> B[Propiedades de la igualdad]
  B --> C[Propiedad aditiva: a + c = b + c]
  B --> D[Propiedad multiplicativa: ac = bc]
  C --> E[Inverso aditivo: -c]
  D --> F[Inverso multiplicativo: 1/c]
  E --> G[Despejar x]
  F --> G
  G --> H[Solución de la ecuación]

Fórmulas y ecuaciones

a + c = b + c

ac = bc

c $\times$ $\frac{1}{c}$ = 1

Ax = B

a + c = b + c

ac = bc

c + (-c) = 0

c $\times$ $\frac{1}{c}$ = 1

Glosario (6)

Ecuación: Igualdad matemática que contiene una o más incógnitas.
Incógnita: Literal cuyo valor se desconoce y se busca determinar.
Constante numérica: Número conocido que multiplica o acompaña a la incógnita.
Solución de la ecuación: Valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
Inverso aditivo: Número que sumado a otro da como resultado cero.
Inverso multiplicativo: Número que multiplicado por otro da como resultado uno.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario que $c$ sea diferente de cero en la propiedad multiplicativa y en el inverso multiplicativo?

Porque la división entre cero no está definida y no existe ningún número que multiplicado por cero dé uno. Si $c = 0$, la expresión $\frac{1}{c}$ carece de sentido y la igualdad $c \times \frac{1}{c} = 1$ no se cumpliría.

¿Cómo se relacionan las propiedades de la igualdad con el procedimiento de despejar la incógnita?

Las propiedades de la igualdad garantizan que si se suma, resta, multiplica o divide la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. Gracias a ello se pueden aplicar los inversos aditivo y multiplicativo para aislar la incógnita sin alterar la solución.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones de la forma Ax = BSolución de una ecuaciónPropiedad aditiva de la igualdadPropiedad multiplicativa de la igualdadInverso aditivoInverso multiplicativoIncógnitaConstante numéricaSolución de la ecuaciónPropiedad de la igualdadInverso aditivoInverso multiplicativo

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es una ecuación de la forma Ax = B y cómo se resuelve?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Para qué sirven las propiedades de la igualdad al despejar la incógnita?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre inverso aditivo e inverso multiplicativo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números reales
• Noción de igualdad matemática
• Uso de literales para representar números

Siguiente tema sugerido

Resolución de ecuaciones de la forma Ax + B = C

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1311 caracteres

Las ecuaciones de la forma $Ax=B$ sólo contienen una incógnita, por lo general x. A y B se llaman constantes numéricas y su valor es conocido. La literal x se calcula por medio de operaciones matemáticas: suma, resta, multiplicación y división. Al valor de la incógnita que cumpla con la igualdad se le nombra solución de la ecuación.

Las operaciones matemáticas por realizar para despejar a x están basadas en las propiedades de la igualdad:

c Propiedad aditiva de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a,b y c,\mathrm{si}a=b,$ ,entonces la suma de a y c será igual a la suma de $b y c.$ Es decir:

$a+c=b+c$

Propiedad multiplicativa de la igualdad: establece que para cualesquiera números reales $a,b y c,$ donde c es diferente de cero, si a es igual a $b_{s}$ entonces el producto de a y c será igual al producto de y c. En otras palabras:

$ac=bc$

En ambos casos se suman o multiplican los términos de la ecuación por una cantidad, ésta puede ser:

ci Inverso aditivo: todo número real c tiene un inverso aditivo que es , $-c_{s}$ de tal forma que siempre se cumple $c-c=0$

Inverso multiplicativo: todo número real c tiene un inverso multiplicativo que es

$\frac{1}{c}$

de tal forma que, siempre y cuando c sea diferente de cero:

$c\times\frac{1}{c}=1$

179荧

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