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Ecuación de la forma Ax + B = Cx + D

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Respuesta rápida

$x = \frac{3}{4}$ . Se aplican el inverso aditivo (restar 4 y 8x) y el inverso multiplicativo (multiplicar por 1/8).

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Solución — Página 183

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo resuelto: $16x + 4 = 8x + 10$

Encontrar el valor de $x$ que satisface la ecuación.

Se resta $4$ en ambos lados (propiedad aditiva, inverso aditivo de $+4$ ): $16x + 4 - 4 = 8x + 10 - 4$ $16x = 8x + 6$
Se resta $8x$ en ambos lados para agrupar las incógnitas: $16x - 8x = 8x - 8x + 6$ $8x = 6$
Se multiplica por el inverso multiplicativo de $8$ , es decir $\frac{1}{8}$ , en ambos lados: $8x \cdot \frac{1}{8} = 6 \cdot \frac{1}{8}$ $\frac{8x}{8} = \frac{6}{8}$
Se cancela el $8$ en el primer miembro y se simplifica la fracción: $x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Respuesta: $x = \frac{3}{4}$

Verificación

Se sustituye $x = \frac{3}{4}$ en la ecuación original:

Miembro izquierdo: $16\left(\frac{3}{4}\right) + 4 = 12 + 4 = 16$
Miembro derecho: $8\left(\frac{3}{4}\right) + 10 = 6 + 10 = 16$

Como $16 = 16$ , la solución es correcta.

Procedimiento general

Para resolver $Ax + B = Cx + D$ :

Restar $B$ en ambos lados: $Ax = Cx + (D - B)$ .
Restar $Cx$ en ambos lados: $(A - C)x = D - B$ .
Dividir entre $(A - C)$ : $x = \frac{D - B}{A - C}$ , con $A \ne C$ .

Respuesta orientativa: agrupar términos semejantes (misma incógnita y mismo exponente) simplifica las operaciones; se usan el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para despejar la incógnita.

Contenido de la página

Ecuación de la forma $Ax + B = Cx + D$

En este tipo de ecuaciones, los dos términos lineales que las conforman contienen la incógnita $x$ y una constante numérica. Dichas ecuaciones se pueden resolver con las mismas propiedades de la igualdad que se han mencionado anteriormente.

Si se desea encontrar la solución que satisfaga la ecuación $16x + 4 = 8x + 10$ , es necesario agrupar los términos semejantes de la ecuación por medio de la propiedad aditiva y multiplicativa de la igualdad:

$16x + 4 - 4 = 8x + 10 - 4 \quad \text{Se resta cuatro en ambos lados de la igualdad.}$

$16x = 8x + 6 \quad \text{Ecuación resultante}$

$16x - 8x = 8x - 8x + 6 \quad \text{Se resta ocho veces } x \text{ de ambos lados de la igualdad.}$

$8x = 6 \quad \text{Ecuación resultante}$

$8x\left(\frac{1}{8}\right) = 6\left(\frac{1}{8}\right) \quad \text{Se divide entre ocho en ambos lados de la igualdad.}$

$\frac{8x}{8} = \frac{6}{8} \quad \text{Como } 8x \text{ se divide entre 8, se puede afirmar que se cancela el ocho en la fracción.}$

$x = \frac{6}{8} \quad \text{Ecuación obtenida de la división entre ocho}$

$x = \frac{3}{4} \quad \text{Se simplifica la fracción.}$

Agrupar los términos semejantes en una ecuación ayuda a la simplificación de las operaciones por realizar; además, para que se pueda sumar o restar alguna cantidad, esta debe estar acompañada de la misma incógnita y tener el mismo exponente.

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita, en este caso, se resuelven mediante las propiedades aditiva y multiplicativa de la igualdad. Para ello, se utiliza el inverso aditivo y el multiplicativo.

Ejemplos resueltos

Resolver la ecuación $16x + 4 = 8x + 10$ .

Restar 4 en ambos lados: $16x + 4 - 4 = 8x + 10 - 4 \Rightarrow 16x = 8x + 6$ .
Restar $8x$ en ambos lados: $16x - 8x = 8x - 8x + 6 \Rightarrow 8x = 6$ .
Multiplicar por $\frac{1}{8}$ en ambos lados: $8x\left(\frac{1}{8}\right) = 6\left(\frac{1}{8}\right) \Rightarrow \frac{8x}{8} = \frac{6}{8}$ .
Cancelar el 8 y simplificar: $x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

Verificación: $16\left(\frac{3}{4}\right) + 4 = 16$ y $8\left(\frac{3}{4}\right) + 10 = 16$ . Se cumple la igualdad.

Tabla

Paso	Operación	Propiedad aplicada
1	$16x + 4 - 4 = 8x + 10 - 4$	Propiedad aditiva (inverso aditivo de 4)
2	$16x = 8x + 6$	Ecuación resultante
3	$16x - 8x = 8x - 8x + 6$	Propiedad aditiva (inverso aditivo de $8x$ )
4	$8x = 6$	Ecuación resultante
5	$8x\left(\frac{1}{8}\right) = 6\left(\frac{1}{8}\right)$	Propiedad multiplicativa (inverso multiplicativo de 8)
6	$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$	Simplificación de fracción

Diagrama

flowchart TD
  A["16x + 4 = 8x + 10"] --> B["Restar 4 en ambos lados"]
  B --> C["16x = 8x + 6"]
  C --> D["Restar 8x en ambos lados"]
  D --> E["8x = 6"]
  E --> F["Multiplicar por 1/8 en ambos lados"]
  F --> G["x = 6/8"]
  G --> H["Simplificar"]
  H --> I["x = 3/4"]

Fórmulas y ecuaciones

Ax + B = Cx + D

x = $\frac{D - B}{A - C}$ , $\quad$ A $\ne$ C

16x + 4 = 8x + 10

16x + 4 - 4 = 8x + 10 - 4

16x = 8x + 6

16x - 8x = 8x - 8x + 6

8x = 6

$8x\left(@@MATH_0@@\right)$ = $6\left(@@MATH_1@@\right)$

$\frac{8x}{8}$ = $\frac{6}{8}$

x = $\frac{6}{8}$

x = $\frac{3}{4}$

Glosario (6)

Ecuación de primer grado: Igualdad algebraica en la que la incógnita tiene exponente 1.
Términos semejantes: Términos que tienen la misma incógnita con el mismo exponente; pueden sumarse o restarse entre sí.
Propiedad aditiva de la igualdad: Si se suma o resta la misma cantidad en ambos miembros de una igualdad, esta se conserva.
Propiedad multiplicativa de la igualdad: Si se multiplica o divide por la misma cantidad distinta de cero en ambos miembros, la igualdad se conserva.
Inverso aditivo: Número que sumado a otro da cero; por ejemplo, el inverso aditivo de 4 es -4.
Inverso multiplicativo: Número que multiplicado por otro da 1; por ejemplo, el inverso multiplicativo de 8 es 1/8.

Preguntas para practicar

¿Por qué es útil agrupar los términos semejantes al resolver una ecuación?

Porque permite reducir la expresión a una forma más simple, como $8x = 6$, donde la incógnita queda en un solo miembro. Así las operaciones necesarias para despejar $x$ son más claras y se evitan errores. Además, solo se pueden sumar o restar términos que tienen la misma incógnita y el mismo exponente.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones de primer grado con incógnita en ambos miembrosPropiedades de la igualdadAgrupación de términos semejantesEcuación de la forma Ax + B = Cx + DTérminos linealesConstante numéricaPropiedad aditiva de la igualdadPropiedad multiplicativa de la igualdadInverso aditivoInverso multiplicativoSimplificación de fracciones

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve una ecuación con incógnita en ambos lados?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué son los términos semejantes en una ecuación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se aplica el inverso multiplicativo para despejar x?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros y fracciones
• Noción de igualdad y ecuación
• Propiedades aditiva y multiplicativa de la igualdad

Siguiente tema sugerido

Ecuaciones de la forma Ax + B = Cx + D con coeficientes negativos o fraccionarios

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1453 caracteres

Ecuación de la forma
$Ax+B=Cx+D$

En este tipo de ecuaciones, los dos términos lineales que las conforman contienen la incógnita x y una constante numérica. Dichas ecuaciones se pueden resolver con las mismas propiedades de la igualdad que se han mencionado anteriormente.

Si se desea encontrar la solución que satisfaga la ecuación $16x+4=8x+10$ es necesario agrupar los términos semejantes de la ecuación por medio de la propiedad aditiva y multiplicativa de la igualdad:

$16x+4-4=8x+10-4$ Se resta cuatro en ambos lados de la igualdad.

$16x=8x+6$ Ecuación resultante

$16x-8x=8x-8x+6$ Se resta ocho veces x de dad.

$8x=6$

Ecuación resultante

$8x\left(\frac{1}{8}\right)=6\left(\frac{1}{8}\right)$ lados de la igualdad.Se divide entre ocho en ambos

$\frac{8x}{8}=\frac{6}{8}$

$x=\frac{6}{8}$

$x=\frac{3}{4}$

Como 8x se divide entre 8, se puede afirmar que se cancela el ocho en la fracción.

Ecuación obtenida de la división entre ocho

Se simplifica la fracción.

Agrupar los términos semejantes en una ecuación ayuda a la simplificación de las operaciones por realizar; además, para que se pueda sumar o restar alguna cantidad, ésta debe estar acompanada de la misma incógnita y tener el mismo exponente.

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