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Distancia de un punto a una recta en el plano cartesiano

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Respuesta rápida

La distancia del punto $P(6,8)$ a la recta $r$ es aproximadamente $3.6 \, \text{cm}$ ( $\sqrt{13} \approx 3.6$ unidades).

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 88

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo: distancia del punto $P$ a la recta $r$

Se tiene la recta $r$ que pasa por los puntos $(1,7)$ y $(7,3)$ , y el punto $P(6,8)$ . Se desea medir la distancia de $P$ a $r$ .

Se identifican dos puntos por donde pasa la recta: $(1,7)$ y $(7,3)$ .
Se ubica la coordenada del punto $P$ : $(6,8)$ .
Se traza el segmento auxiliar $d$ desde $P$ hasta la recta $r$ , de modo que sea perpendicular a $r$ .
Se cuentan los espacios de la cuadrícula que ocupa el segmento $d$ : forma un rectángulo de $3$ unidades de alto por $2$ unidades de largo.
Con un sistema de medida, la longitud del segmento $d$ resulta aproximadamente $3.6 \, \text{cm}$ .

Respuesta: La distancia del punto $P(6,8)$ a la recta $r$ es aproximadamente $3.6 \, \text{cm}$ (equivalente a $\sqrt{13} \approx 3.6$ unidades de la cuadrícula).

Paso 1

Identificar las coordenadas de dos puntos de la recta $r$ .

Respuesta orientativa: Los puntos son $(1,7)$ y $(7,3)$ .

Paso 2

Ubicar la coordenada del punto $P$ .

Respuesta orientativa: $P(6,8)$ .

Paso 3

Trazar el segmento auxiliar perpendicular a la recta y contar los espacios.

Respuesta orientativa: El segmento $d$ ocupa un rectángulo de $3$ unidades de alto por $2$ unidades de largo; su longitud es aproximadamente $3.6 \, \text{cm}$ .

Contenido de la página

Ejemplo

Para obtener la medida de la distancia del punto a la recta, se buscan las coordenadas de dos puntos por donde pasa la recta, por ejemplo:

$(1,7) \quad (7,3)$

Enseguida se busca la coordenada en donde se encuentra el punto $P$ :

$(6,8)$

Después se cuentan los espacios que tiene el segmento $d$ , con ayuda de los números del cuadrante, y se obtiene como resultado que ocupa un rectángulo de $3$ unidades de alto por $2$ unidades de largo. Al utilizar un sistema de medida se puede decir que la longitud del segmento $d$ mide $3.6 \, \text{cm}$ , aproximadamente.

Para saber qué distancia hay de una recta a un punto, es necesario que el segmento auxiliar que se traza para medir la distancia de un punto a una recta sea perpendicular, y contar con el plano cartesiano, ya que es fundamental para el conteo de los espacios. Además, es indispensable que cada espacio del plano mida lo mismo, pues así se obtendrá el resultado exacto de la distancia del segmento.

Ejemplos resueltos

Hallar la distancia del punto $P(6,8)$ a la recta $r$ que pasa por $(1,7)$ y $(7,3)$ .

Se traza el segmento perpendicular desde $P$ hasta $r$ . El pie de la perpendicular es aproximadamente $(4,5)$ . Entonces:

$d = \sqrt{(6-4)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3.6$

La distancia es aproximadamente $3.6$ unidades (o $3.6 \, \text{cm}$ según la escala).

Diagrama

graph LR
  A[Punto P(6,8)] --> B[Segmento perpendicular d]
  B --> C[Recta r]
  C --> D[Coordenadas (1,7) y (7,3)]
  D --> E[Conteo de espacios: 3 alto x 2 largo]
  E --> F[Longitud aproximada: 3.6 cm]

Fórmulas y ecuaciones

d = $\sqrt{(6-4)^2 + (8-5)^2}$ = $\sqrt{4+9}$ = $\sqrt{13}$ $\approx$ 3.6

d = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Glosario (3)

Plano cartesiano: Sistema de ejes perpendiculares que permite ubicar puntos mediante coordenadas (x, y).
Segmento perpendicular: Segmento que forma un ángulo de 90° con la recta; es la distancia más corta entre un punto y una recta.
Coordenada: Par ordenado (x, y) que indica la posición de un punto en el plano.

Preguntas para practicar

¿Por qué es indispensable que cada espacio del plano cartesiano mida lo mismo?

Porque si las unidades de la cuadrícula no son uniformes, el conteo de espacios no representaría una medida constante y el resultado de la distancia sería incorrecto. La uniformidad garantiza que cada unidad tenga el mismo valor en cualquier parte del plano.

Temas y conceptos clave

Distancia de un punto a una rectaPlano cartesianoSegmento perpendicularCoordenadasRectaPuntoPerpendicularidadUnidades de medida

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Figuras de la página (1)

Gráfica en el plano cartesiano que muestra la recta r que pasa por (1,7) y (7,3), el punto P(6,8) y el segmento perpendicular d que une P con la recta, formando un rectángulo punteado de 3 unidades de alto por 2 de largo. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la distancia de un punto a una recta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el segmento auxiliar debe ser perpendicular a la recta?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué pasa si los espacios del plano cartesiano no miden lo mismo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Identificar coordenadas (x, y)
• Reconocer rectas perpendiculares

Siguiente tema sugerido

Cálculo de la distancia de un punto a una recta mediante la fórmula analítica

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Ejemplo

nseguida se busca la coordenada en donde se encuentra el punto P:

(6,8)

Después se cuentan los espacios que tiene el segmento d, con ayuda de los números del cuadrante, y se obtiene como resultado que ocupa un rectángulo de 3 unidades de alto por 2 unidades de largo. Al utilizar un sistema de medida se puede decir que la longitud del segmento d mide 3.6 cm, aproximadamente.

Para saber qué distancia hay de una recta a un punto, es necesario que el segmento auxiliar que se traza para medir la distancia de un punto a una recta sea perpendicular, y contar con el plano cartesiano, ya que es fundamental para el conteo de los espacios. Además,es indispensable que cada espacio del plano mida lo mismo, pues asíse obtendrá el resultado exacto de la distancia del segmento.

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c Para obtener la medida de la distancia del punto a la recta, se buscan las coordenadas de dos puntos por donde pasa la recta, por ejemplo:

(1,7)(7,3)

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