Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2

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Sucesiones cuadráticas

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Sucesión: lista ordenada de términos. Regla cuadrática: $a_{n}=an^{2}+bn+c$ , $a\ne 0$ . Segundas diferencias constantes $=2a$ . Ejemplos: $a_{n}=n^{2}+2n$ y $a_{n}=n^{2}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 107

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Sucesiones cuadráticas

Esta página es una introducción teórica: no contiene ejercicios numéricos, por lo que se explican los conceptos y se añaden ejemplos ilustrativos.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos de la sucesión. Por tener un orden, también se le llama secuencia. El orden importa: el primer término se denota $a_{1}$ , el segundo $a_{2}$ , y en general el término de lugar $n$ es $a_{n}$ .

Regla o término general

Para describir, explicar, determinar o representar el patrón de una sucesión se establece una regla aritmética que permite calcular cualquier término. Esa regla se escribe con una expresión algebraica $a_{n}$ en función de $n$ .

Sucesión cuadrática

Cuando el comportamiento de los términos es cuadrático, la regla es una expresión cuadrática o de segundo grado:

$a_{n}=an^{2}+bn+c, \quad a \ne 0$

Propiedad clave: en una sucesión cuadrática las segundas diferencias (diferencias de las diferencias) son constantes e iguales a $2a$ .

Ejemplo 1

Sucesión: $3,\; 8,\; 15,\; 24,\; 35, \dots$

Primeras diferencias: $8-3=5$ , $15-8=7$ , $24-15=9$ , $35-24=11$ .
Segundas diferencias: $7-5=2$ , $9-7=2$ , $11-9=2$ . Son constantes, luego es cuadrática con $2a=2 \Rightarrow a=1$ .
Con $a=1$ : $a_{1}=1+b+c=3$ y $a_{2}=4+2b+c=8$ .
Restando: $3+b=5 \Rightarrow b=2$ ; entonces $c=3-1-2=0$ .

Respuesta: $a_{n}=n^{2}+2n$ .

Ejemplo 2

Sucesión de figuras: cuadrados formados por puntos que crecen agregando una fila y una columna.

Términos: $1,\; 4,\; 9,\; 16, \dots$
Primeras diferencias: $3,\; 5,\; 7$ ; segundas diferencias: $2,\; 2$ .
$2a=2 \Rightarrow a=1$ ; con $a_{1}=1+b+c=1$ y $a_{2}=4+2b+c=4$ se obtiene $b=0$ , $c=0$ .

Respuesta: $a_{n}=n^{2}$ (cuadrados perfectos).

Contenido de la página

Sucesiones cuadráticas

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos de la sucesión. Por tener un orden, a la sucesión también se le conoce como secuencia y es útil para describir, explicar, determinar o representar el comportamiento o patrón de figuras o números.

Para ello, es necesario establecer una regla aritmética que sirva para calcular cualquier término de la sucesión. Esta regla puede representarse con una expresión algebraica.

Cuando el comportamiento de los términos o valores de una sucesión es cuadrático, la regla es una expresión cuadrática o de segundo grado.

Ilustración: grecas y patrones geométricos de arte tradicional (fondo morado) que ejemplifican la idea de patrón y repetición ordenada.

Ejemplos resueltos

Encuentra la regla de la sucesión $3, 8, 15, 24, 35, \dots$

Primeras diferencias: $5, 7, 9, 11$ . Segundas diferencias: $2, 2, 2$ (constantes), entonces $2a=2 \Rightarrow a=1$ . Con $a_{1}=1+b+c=3$ y $a_{2}=4+2b+c=8$ se obtiene $b=2$ y $c=0$ . Regla: $a_{n}=n^{2}+2n$ .

Sucesión de figuras cuadradas: $1, 4, 9, 16, \dots$

Primeras diferencias: $3, 5, 7$ ; segundas diferencias: $2, 2$ . Entonces $a=1$ . Con $a_{1}=1+b+c=1$ y $a_{2}=4+2b+c=4$ resulta $b=0$ , $c=0$ . Regla: $a_{n}=n^{2}$ .

Tabla

n	1	2	3	4	5
$a_n$ = $n^2$ + 2n	3	8	15	24	35
1ª diferencia	—	5	7	9	11
2ª diferencia	—	—	2	2	2

Diagrama

graph TD
  A[Sucesión] --> B[Lista ordenada de números o figuras]
  A --> C[Términos de la sucesión]
  A --> D[Regla aritmética]
  D --> E[Expresión algebraica]
  E --> F[Si el patrón es cuadrático]
  F --> G[Expresión de segundo grado: an^2 + bn + c]

Fórmulas y ecuaciones

$a_{n}=an^{2}+bn+c$ , $\quad$ a $\ne$ 0

$\Delta^{2}$ = 2a

$a_{n}=an^{2}+bn+c$ , $\quad$ a $\ne$ 0

$a_{n}=n^{2}+2n$

$a_{n}=n^{2}$

Glosario (5)

Sucesión: Lista ordenada de números o figuras llamados términos.
Secuencia: Otro nombre que se da a la sucesión por tener un orden establecido.
Término de la sucesión: Cada uno de los números o figuras que forman la sucesión; se ubican por su posición $n$.
Regla aritmética: Criterio que permite calcular cualquier término de la sucesión.
Expresión cuadrática: Expresión algebraica de segundo grado, de la forma $an^{2}+bn+c$, que modela sucesiones cuadráticas.

Preguntas para practicar

¿Por qué a una sucesión también se le llama secuencia?

Porque sus elementos siguen un orden establecido: cada término ocupa una posición determinada. Ese orden permite identificar el patrón y predecir los siguientes valores.

¿Qué significa que el comportamiento de una sucesión sea cuadrático?

Significa que sus términos crecen o decrecen siguiendo una expresión de segundo grado $an^{2}+bn+c$. En estos casos las segundas diferencias entre términos consecutivos son constantes.

Temas y conceptos clave

SucesionesSucesiones cuadráticasRegla o término generalsucesiónsecuenciatérminos de la sucesiónregla aritméticaexpresión algebraicaexpresión cuadrática o de segundo grado

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Figuras de la página (1)

Franja vertical morada con tres patrones geométricos blancos: arriba una greca con formas de árbol y espirales, al centro rombos con triángulos, abajo otra greca simétrica con espirales y formas escalonadas. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

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¿Cómo se calcula el término general de una sucesión cuadrática?

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¿Qué diferencia hay entre una sucesión aritmética y una cuadrática?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números enteros
• Identificar patrones numéricos y de figuras
• Sustitución de valores en expresiones algebraicas
• Nociones de sucesiones aritméticas

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Cálculo del término general de una sucesión cuadrática a partir de sus diferencias

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Sucesiones cuadráticas

Una sucesión es una lista ordenada de números o figuras llamados términos de la sucesión. Por tener un orden,a la sucesión también se le conoce como secuencia y es útil para describir,explicar, determinar o representar el comportamiento o patrón de figuras o números. Para ello, es necesario establecer una regla aritmética que sirva para calcular cualquier término de la sucesión. Esta regla puede representarse con una expresión algebraica. Cuando el comportamiento de los términos o valores de una sucesión es cuadrático, la regla es una expresión cuadrática o de segundo grado.

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