Proporcionalidad inversa: ejemplos y constante de proporcionalidad

Ejemplo 1

Se envasa cierta cantidad de pintura en 6 cubetas de 20 L cada una, hasta llenarlas por completo. Hallar el número de cubetas de 4 L de capacidad que se requieren para envasar la misma cantidad de pintura. En este ejemplo, la relación de proporcionalidad inversa se plantea como sigue:

6 \text{ cubetas} \longrightarrow 20 \, \text{L}

x \text{ cubetas} \longrightarrow 4 \, \text{L}

El valor desconocido representa la cantidad de cubetas de 4 L requeridas para envasar la pintura. Se calcula de la forma siguiente:

x = \frac{(6 \text{ cubetas})(20 \, \text{L})}{4 \, \text{L}}

x = \frac{120}{4} \text{ cubetas}

x = 30 \text{ cubetas}

En esta situación, la constante de proporcionalidad es la cantidad total de pintura que se requiere envasar; es decir, el producto de dos valores correspondientes a la cantidad de cubetas y la capacidad de pintura en cada una. Por ejemplo:

(6 \text{ cubetas}) \left( \frac{20 \, \text{L}}{1 \text{ cubeta}} \right) = 120 \, \text{L}

La constante de proporcionalidad es k = 120.

En una situación de proporcionalidad inversa, el valor faltante también se puede calcular mediante la constante de proporcionalidad de la siguiente manera: se calcula la constante de proporcionalidad y se divide entre el valor conocido correspondiente al valor faltante.

Ejemplo 2

Cierta cantidad de alimento que comen 24 gallinas dura 10 días. Calcular el número de días que durará la misma cantidad de alimento para 30 gallinas.

Dos pares de valores correspondientes que se conocen en esta situación son 24 gallinas y 10 días. Entonces, la constante de proporcionalidad es:

k = (24)(10) = 240

Para calcular la cantidad de días correspondiente a 30 gallinas, se divide la constante de proporcionalidad entre 30; esto es: 240 \div 30 = 8.

Por tanto, la misma cantidad de alimento para 30 gallinas durará 8 días.

Si a, b, c y x son valores que tienen una relación de proporcionalidad inversa, tal que:

a : b \text{ (se lee } a \text{ es a } b) :: c : x \text{ (se lee } c \text{ es a } x),

donde a, b y c son valores conocidos y x es un valor desconocido, entonces el valor de x se calcula como sigue:

x = \frac{(a)(b)}{c}