Representación gráfica, tabular y algebraica de la proporcionalidad inversa
Respuesta rápida
Constante k = 72 (fuerza). Modelo: m \cdot a = 72 o a = \frac{72}{m}. Razones inversas: 2:1 y 1:2.
Solución — Página 45
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Análisis de la tabla
La tabla relaciona la masa m (kg) con la aceleración a (m/s^{2}) de objetos del mismo material y forma al aplicarles la misma fuerza.
| Masa (kg) | Aceleración (m/s^{2}) | Producto m \cdot a |
|---|---|---|
| 9 | 8 | 9 \times 8 = 72 |
| 6 | 12 | 6 \times 12 = 72 |
| 4 | 18 | 4 \times 18 = 72 |
| 3 | 24 | 3 \times 24 = 72 |
| 2 | 36 | 2 \times 36 = 72 |
- Se multiplica cada par de valores correspondientes.
- El producto es siempre 72, por lo que las magnitudes son inversamente proporcionales.
- La constante de proporcionalidad es k = 72 y representa la fuerza aplicada.
Respuesta: La constante de proporcionalidad es k = 72 (fuerza aplicada).
Análisis de razones inversas
- La masa disminuye de 6 kg a 3 kg: razón \frac{6}{3} = 2, es decir, 2:1.
- La aceleración aumenta de 12 m/s^{2} a 24 m/s^{2}: razón \frac{12}{24} = \frac{1}{2}, es decir, 1:2.
- Se comprueba que si una magnitud varía en razón r, la otra varía en razón inversa \frac{1}{r}.
Respuesta: La razón inversa se cumple: 2 y \frac{1}{2} son recíprocas.
Modelo algebraico
- Como m \cdot a = k, se despeja a = \frac{k}{m}.
- Con k = 72: a = \frac{72}{m}.
- Verificación con m = 4: a = \frac{72}{4} = 18 m/s^{2}.
Respuesta: La expresión algebraica es a = \frac{72}{m} o m \cdot a = 72.
Contenido de la página
Representación gráfica, tabular y algebraica de la proporcionalidad inversa
La representación tabular, gráfica y algebraica de la proporcionalidad inversa es útil para modelar, comparar y comunicar información de situaciones que involucran esta relación entre magnitudes.
La representación tabular de una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes consiste en organizar los datos correspondientes de esas magnitudes en una tabla.
Ejemplo
Al aplicar la misma fuerza a objetos del mismo material y forma, pero de masa distinta para ponerlos en movimiento, se registraron los datos de su masa y aceleración en una tabla como la siguiente:
| Masa (kg) | Aceleración (m/s^{2}) |
|---|---|
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
El comportamiento de los datos en la tabla muestra que las magnitudes masa y aceleración son inversamente proporcionales porque, al multiplicar pares de valores correspondientes de las magnitudes, el resultado es constante (siempre es el mismo valor) y representa la constante de proporcionalidad.
Por ejemplo: (4)(18) = 72; (3)(24) = 72
En esta situación, la constante de proporcionalidad representa la fuerza que se aplica a los objetos para ponerlos en movimiento.
Si los datos de una magnitud varían en una razón r, los datos de la otra magnitud deben variar en la razón inversa \frac{1}{r}.
Por ejemplo, la masa disminuye de 6 kg a 3 kg en la razón 2:1 (\frac{6\text{ kg}}{3\text{ kg}} = 2), mientras que la aceleración aumenta de 12 m/s^{2} a 24 m/s^{2} en la razón 1:2 (\frac{12\text{ m/s}^{2}}{24\text{ m/s}^{2}} = \frac{1}{2}).
Ejemplos resueltos
Comprobar que la masa y la aceleración son inversamente proporcionales usando los pares (4, 18) y (3, 24).
Se multiplican los pares correspondientes: (4)(18) = 72 y (3)(24) = 72. Como el producto es constante, las magnitudes son inversamente proporcionales y la constante es k = 72, que representa la fuerza aplicada.
Verificar la razón inversa cuando la masa pasa de 6 kg a 3 kg y la aceleración de 12 m/s^{2} a 24 m/s^{2}.
La razón de la masa es \frac{6}{3} = 2 (2:1). La razón de la aceleración es \frac{12}{24} = \frac{1}{2} (1:2). Se cumple que si una magnitud varía en razón r, la otra varía en razón \frac{1}{r}.
Tabla
| Masa (kg) | Aceleración (m/s^{2}) |
|---|---|
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
Fórmulas y ecuaciones
m \cdot a = k
a = \frac{k}{m}
m \cdot a = 72
a = \frac{72}{m}
\frac{6\text{ kg}}{3\text{ kg}} = 2
\frac{12\text{ m/s}^{2}}{24\text{ m/s}^{2}} = \frac{1}{2}
Glosario (4)
- Proporcionalidad inversa
- Relación entre dos magnitudes en la que al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción, de modo que su producto es constante.
- Constante de proporcionalidad
- Valor constante que resulta de multiplicar los pares de valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales.
- Razón inversa
- Recíproco de una razón; si una magnitud varía en razón r, la otra varía en razón 1/r.
- Representación tabular
- Organización de datos de dos magnitudes en una tabla de valores.
Preguntas para practicar
¿Por qué el producto de la masa y la aceleración es constante en la tabla?
Porque se aplica la misma fuerza a todos los objetos. Según la relación entre fuerza, masa y aceleración, al aumentar la masa disminuye la aceleración de forma inversamente proporcional, manteniendo constante el producto $m \cdot a = 72$.
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación?
Representa la fuerza aplicada a los objetos para ponerlos en movimiento. Su valor es 72 y se mantiene igual para todos los pares de datos de la tabla.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo saber si dos magnitudes son inversamente proporcionales?
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en una relación inversa?
¿Cómo se obtiene la expresión algebraica de una proporcionalidad inversa?
- • Multiplicación y división de números naturales
- • Concepto de razón y proporción
- • Proporcionalidad directa
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1824 caracteres
Representación gráfica, tabular y algebraica de la proporcionalidad inversa
La representación tabular, gráfica y algebraica de la proporcionalidad inversa es útil para modelar, comparar y comunicar información de situaciones que involucran esta relación entre magnitudes.
Ejemplo
La representación tabular de una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes consiste en organizar los datos correspondientes de esas magnitudes en una tabla.
Al aplicar la misma fuerza a objetos del mismo material y forma, pero de masa distinta para ponerlos en movimiento, se registraron los datos de su masa y aceleración en una tabla como la siguiente:
El comportamiento de los datos en la tabla muestra que las magnitudes masa y aceleración son inversamente proporcionales porque, al multiplicar pares de valores correspondientes de las magnitudes, el resultado es constante (siempre es el mismo valor) y representa la constante de proporcionalidad.
\mathrm{P o r~e j e m p l o:}\qquad(4)(18)=72\qquad(3)(24)=72
En esta situación, la constante de proporcionalidad representa la fuerza que se aplica a los objetos para ponerlos en movimiento.
Si los datos de una magnitud varian en una razón r, los datos de la otra magnitud deben variar en la razón inversa \frac{1}{r}
Por ejemplo, la masa disminuye de 6 kg a 3 kg en la razón 2: 1\left(\frac{6kg}{3kg}=2\right) mientras que la aceleración aumenta de 12m/s^{2}a24m/s^{2} en la
\mathrm{razon}1:2\left(\frac{12\mathrm{m/s^2}}{24\mathrm{m/s^2}}=\frac{1}{2}\right).
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| Masa (kg) | Aceleración(m/s) |
| 9 | 8 |
| 6 | 12 |
| 4 | 18 |
| 3 | 24 |
| 2 | 36 |
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