Construcción de triángulos y cuadriláteros: desigualdad del triángulo
Respuesta rápida
La desigualdad del triángulo establece que un triángulo se puede construir si el lado mayor es menor que la suma de los otros dos. Si es mayor o igual, no se puede construir.
Solución — Página 49
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Explicación del contenido
La página presenta la desigualdad del triángulo, teorema que establece la condición necesaria y suficiente para construir un triángulo con tres segmentos dados.
Enunciado del teorema
Dados tres segmentos de longitudes a, b y c, con c el lado mayor, se puede construir un triángulo si y solo si:
c < a + b
Equivalentemente, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser mayor que la longitud del tercer lado:
a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a
Caso 1: Sí se puede construir el triángulo
Ejemplo 1: a = 17.44 \, \text{mm}, b = 10.87 \, \text{mm}, c = 15.07 \, \text{mm}.
- Identificamos el lado mayor: a = 17.44 \, \text{mm}.
- Sumamos los otros dos lados: b + c = 10.87 + 15.07 = 25.94 \, \text{mm}.
- Comparamos: 17.44 < 25.94. Se cumple la desigualdad.
Respuesta: Sí se puede construir el triángulo.
Ejemplo 2: a = 6.90 \, \text{mm}, b = 12.41 \, \text{mm}, c = 17.41 \, \text{mm}.
- Lado mayor: c = 17.41 \, \text{mm}.
- Suma de los otros dos: a + b = 6.90 + 12.41 = 19.31 \, \text{mm}.
- Comparamos: 17.41 < 19.31. Se cumple la desigualdad.
Respuesta: Sí se puede construir el triángulo.
Caso 2: No se puede construir el triángulo
Ejemplo 3: a = 3.95 \, \text{mm}, b = 7.95 \, \text{mm}, c = 3.91 \, \text{mm}.
- Lado mayor: b = 7.95 \, \text{mm}.
- Suma de los otros dos: a + c = 3.95 + 3.91 = 7.86 \, \text{mm}.
- Comparamos: 7.95 > 7.86. No se cumple la desigualdad.
Respuesta: No se puede construir el triángulo.
Ejemplo 4: a = 15.34 \, \text{mm}, b = 4.17 \, \text{mm}, c = 19.51 \, \text{mm}.
- Lado mayor: c = 19.51 \, \text{mm}.
- Suma de los otros dos: a + b = 15.34 + 4.17 = 19.51 \, \text{mm}.
- Comparamos: 19.51 = 19.51. La suma es igual al lado mayor.
Respuesta: No se puede construir el triángulo; las circunferencias solo se tocan en un punto.
Conclusión
La construcción geométrica con regla y compás permite verificar la desigualdad del triángulo: se trazan circunferencias con radios iguales a los segmentos dados; si las circunferencias se intersecan, el triángulo existe; si no se cortan o solo se tocan, el triángulo no existe.
Contenido de la página
Construcción de triángulos y cuadriláteros por medio de ángulos, lados y rectas notables
Es importante identificar las condiciones necesarias y suficientes para construir triángulos en el plano, con la finalidad de establecer las reciprocidades de las figuras obtenidas durante todo el proceso de su construcción, que son ángulos, lados y rectas notables.
La construcción de una figura es el resultado de una secuencia de pasos que genera la representación de una relación geométrica a partir de condiciones dadas.
Ejemplo
Para construir una figura de tres lados, se considera el teorema denominado desigualdad del triángulo, en el cual, dados tres segmentos cualesquiera, sólo puede construirse un triángulo cuando la longitud del lado mayor mide menos que la suma de los otros dos lados. A continuación se observan dos casos con sus respectivos tres segmentos, los cuales cumplen dicha desigualdad; por lo tanto, sí se pueden construir triángulos.
Caso 1:
- a = 17.44 \, \text{mm}
- b = 10.87 \, \text{mm}
- c = 15.07 \, \text{mm}
Caso 2:
- a = 6.90 \, \text{mm}
- b = 12.41 \, \text{mm}
- c = 17.41 \, \text{mm}
Otro caso es cuando se tienen tres segmentos y la suma de las longitudes de dos de sus lados cualesquiera no es mayor a la del tercer lado; entonces no se puede construir un triángulo. Como se observa en la imagen de la derecha, a partir de los segmentos más cortos se trazan circunferencias en los extremos del tercer segmento, pero no se cortan. O bien, si la suma de los dos lados menores es igual al lado mayor, las circunferencias trazadas con los segmentos dados sólo se tocan. Por lo tanto, no se puede construir un triángulo en ninguno de los dos casos.
Caso 3:
- a = 3.95 \, \text{mm}
- b = 7.95 \, \text{mm}
- c = 3.91 \, \text{mm}
Caso 4:
- a = 15.34 \, \text{mm}
- b = 4.17 \, \text{mm}
- c = 19.51 \, \text{mm}
Ejemplos resueltos
Determinar si se puede construir un triángulo con segmentos de 17.44 \, \text{mm}, 10.87 \, \text{mm} y 15.07 \, \text{mm}.
Lado mayor: 17.44 \, \text{mm}. Suma de los otros dos: 10.87 + 15.07 = 25.94 \, \text{mm}. Como 17.44 < 25.94, sí se puede construir.
Determinar si se puede construir un triángulo con segmentos de 6.90 \, \text{mm}, 12.41 \, \text{mm} y 17.41 \, \text{mm}.
Lado mayor: 17.41 \, \text{mm}. Suma de los otros dos: 6.90 + 12.41 = 19.31 \, \text{mm}. Como 17.41 < 19.31, sí se puede construir.
Determinar si se puede construir un triángulo con segmentos de 3.95 \, \text{mm}, 7.95 \, \text{mm} y 3.91 \, \text{mm}.
Lado mayor: 7.95 \, \text{mm}. Suma de los otros dos: 3.95 + 3.91 = 7.86 \, \text{mm}. Como 7.95 > 7.86, no se puede construir.
Determinar si se puede construir un triángulo con segmentos de 15.34 \, \text{mm}, 4.17 \, \text{mm} y 19.51 \, \text{mm}.
Lado mayor: 19.51 \, \text{mm}. Suma de los otros dos: 15.34 + 4.17 = 19.51 \, \text{mm}. Como 19.51 = 19.51, no se puede construir; las circunferencias solo se tocan.
Fórmulas y ecuaciones
c < a + b
c < a + b
a + b > c
a + c > b
b + c > a
Glosario (3)
- Desigualdad del triángulo
- Teorema que establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
- Rectas notables
- Rectas especiales en un triángulo: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas.
- Condición necesaria y suficiente
- Propiedad que debe cumplirse para que algo sea verdadero y que, al cumplirse, garantiza que lo sea.
Preguntas para practicar
¿Por qué es importante la desigualdad del triángulo en la construcción de figuras geométricas?
Porque permite saber de antemano si tres segmentos dados pueden formar un triángulo, evitando construcciones imposibles. Es una condición necesaria y suficiente que garantiza la existencia de la figura.
¿Qué sucede cuando la suma de dos lados es exactamente igual al tercer lado?
En ese caso, los segmentos se alinean formando una figura degenerada: las circunferencias trazadas solo se tocan en un punto, por lo que no se forma un triángulo con área.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Qué es la desigualdad del triángulo?
¿Cómo saber si se puede construir un triángulo con tres segmentos?
¿Qué pasa si la suma de dos lados es igual al tercer lado?
- • Conocer los elementos de un triángulo: lados, vértices y ángulos
- • Manejar unidades de longitud (mm, cm)
- • Saber usar regla y compás
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1627 caracteres
Construcción de triángulos y cuadriláteros por medio de ángulos, lados y rectas notables
Es importante identificar las condiciones necesarias y suf cientes para construir triángulos en el plano, con la finalidad de establecer las reciprocidades de las figuras obtenidas durante todo el proceso de su construcción, que son ángulos, lados y rectas notables.
Ejemplo
La construcción de una figura es el resultado de una secuencia de pasos que genera la representación de una relación geométrica a partir de condiciones dadas.
Para construir una figura de tres lados, se considera el teorema denominado desigualdad del triángulo, en el cual, dados tres segmentos cualesquiera, sólo puede construirse un triángulo cuando la longitud del lado mayor mide menos que la suma de los otros dos lados. A continuación se observan dos casos con sus respectivos tres segmentos, los cuales cumplen dicha desigualdad; por lo tanto, sí se pueden construir triángulos.
Otro caso es cuando se tienen tres segmentos y la suma de las longitudes de dos de sus lados cualesquiera no es mayor a la del tercer lado; entonces no se puede construir un triángulo. Como se observa en la imagen de la derecha, a partir de los segmentos más cortos se trazan circunferencias en los extremos del tercer segmento, pero no se cortan. O bien, si la suma de los dos lados menores es igual al lado mayor, las circunferencias trazadas con los segmentos dados sólo se tocan. Por lo tanto, no se puede construir un triángulo en ninguno de los dos casos.
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