Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas
Respuesta rápida
A_{\text{sombreada}} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^2 \approx 6.87\,\text{cm}^2
Solución — Página 60
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Análisis de la situación
La página presenta una figura compuesta por dos círculos iguales inscritos en un rectángulo KNML. Se conocen los siguientes datos:
- Círculo con centro en O y radio \overline{OQ} = 2\,\text{cm}.
- Círculo con centro en P y radio \overline{QP} = 2\,\text{cm}.
- Q es punto de tangencia de los dos círculos.
- Los dos círculos están inscritos en el rectángulo KNML.
- \overline{KM} es una diagonal del rectángulo KNML.
El objetivo es calcular el área sombreada, que corresponde a las regiones del rectángulo que quedan fuera de los círculos pero dentro de él, limitadas por la diagonal.
Paso 1: Dimensiones del rectángulo
Como los círculos son tangentes en Q y cada uno tiene radio 2\,\text{cm}, el ancho del rectángulo es la suma de los diámetros:
\text{Base} = 2r + 2r = 4r = 4(2\,\text{cm}) = 8\,\text{cm}
La altura del rectángulo es igual al diámetro de un círculo:
\text{Altura} = 2r = 2(2\,\text{cm}) = 4\,\text{cm}
Paso 2: Área del rectángulo
A_{\text{rectángulo}} = \text{base} \times \text{altura} = 8\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2
Paso 3: Área de cada círculo
La fórmula del área del círculo es A = \pi r^2. Sustituyendo r = 2\,\text{cm}:
A_{\text{círculo}} = \pi (2\,\text{cm})^2 = 4\pi\,\text{cm}^2
Como ambos círculos son del mismo tamaño, el área de cada uno es 4\pi\,\text{cm}^2.
Paso 4: Área total de los dos círculos
A_{\text{2 círculos}} = 2 \times 4\pi\,\text{cm}^2 = 8\pi\,\text{cm}^2
Paso 5: Área sombreada
El área sombreada es la diferencia entre el área del rectángulo y el área de los dos círculos:
A_{\text{sombreada}} = A_{\text{rectángulo}} - A_{\text{2 círculos}} = 32\,\text{cm}^2 - 8\pi\,\text{cm}^2
A_{\text{sombreada}} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^2 \approx (32 - 25.13)\,\text{cm}^2 \approx 6.87\,\text{cm}^2
Respuesta: El área sombreada es (32 - 8\pi)\,\text{cm}^2 \approx 6.87\,\text{cm}^2.
Contenido de la página
Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas
Para calcular el área de una figura geométrica se requiere conocer las dimensiones particulares (largo y ancho) o datos que permitan utilizar una fórmula para determinar el espacio delimitado por sus lados o contorno. Sin embargo, el proceso de determinación del área de una figura compuesta resulta ser una tarea de análisis y estrategia, debido a que el trazo y la representación se relacionan mediante puntos y líneas que se intersecan (círculos y otras figuras geométricas combinadas).
En esos casos es importante tomar en cuenta cada una de las definiciones, características y propiedades de las figuras para que al hacer el análisis se encuentren formulaciones y conjeturas que establezcan afirmaciones y proporcionen los datos numéricos para calcular la superficie o área con las fórmulas adecuadas.
El área de una figura geométrica plana es la medida bidimensional de una superficie; es la región plana delimitada por el contorno de una figura.
En la siguiente figura se plantea el cálculo del área sombreada a través del análisis de los elementos, características y propiedades de las figuras que se intersecan y que delimitan la región sombreada.
Se proporcionan los siguientes datos:
- Círculo con centro en O y radio \overline{OQ} = 2\,\text{cm}.
- Círculo con centro en P y radio \overline{QP} = 2\,\text{cm}.
- El punto Q es punto de tangencia de los dos círculos.
- En el rectángulo KNML están inscritos los dos círculos.
- \overline{KM} es una diagonal del rectángulo KNML.
Al analizar las características y propiedades de las figuras geométricas, se deduce lo siguiente:
- Se puede calcular el área de los dos círculos utilizando la fórmula A = \pi r^2 y la medida del radio.
La fórmula del área del círculo es A = \pi r^2, así:
Sustituyendo el valor del radio: A = \pi (2\,\text{cm})^2
Como ambos círculos son del mismo tamaño, el área de cada uno es: A = 4\pi\,\text{cm}^2
Ejemplos resueltos
Calcular el área de cada círculo si el radio mide 2\,\text{cm}.
Se aplica la fórmula A = \pi r^2. Sustituyendo r = 2\,\text{cm}: A = \pi (2\,\text{cm})^2 = 4\pi\,\text{cm}^2. Como ambos círculos son iguales, cada uno tiene área 4\pi\,\text{cm}^2.
Diagrama
graph TD
A[Rectángulo KNML] --> B[Círculo centro O]
A --> C[Círculo centro P]
B --> D[Radio OQ = 2 cm]
C --> E[Radio QP = 2 cm]
B --> F[Tangencia en Q]
C --> F
A --> G[Diagonal KM]
G --> H[Área sombreada]
Fórmulas y ecuaciones
A = \pi r^2
A = \pi r^2
A = \pi (2\,\text{cm})^2 = 4\pi\,\text{cm}^2
A_{\text{rectángulo}} = 8\,\text{cm} \times 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2
A_{\text{sombreada}} = 32\,\text{cm}^2 - 8\pi\,\text{cm}^2
Glosario (4)
- Área
- Medida bidimensional de una superficie; región plana delimitada por el contorno de una figura.
- Tangencia
- Condición en la que dos figuras se tocan en un solo punto sin cruzarse.
- Inscrito
- Figura que está dentro de otra y es tangente a sus lados.
- Diagonal
- Segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
Preguntas para practicar
¿Por qué es importante analizar las propiedades de las figuras antes de calcular un área compuesta?
Porque las propiedades permiten identificar relaciones geométricas como tangencias, simetrías o inscripciones que simplifican el cálculo y evitan suposiciones erróneas. Además, ayudan a descomponer la figura en partes conocidas y a establecer las fórmulas adecuadas.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (1)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula el área de una figura compuesta?
¿Qué es el área sombreada y cómo se obtiene?
¿Cómo se relacionan los círculos inscritos en un rectángulo?
- • Fórmula del área del círculo
- • Concepto de radio y diámetro
- • Área de rectángulos
- • Propiedades de tangencia
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2032 caracteres
Cálculo de áreas mediante intersecciones de círculos con figuras geométricas
Para calcular el área de una figura geométrica se requiere conocer las dimensiones particulares (largo y ancho) o datos que permitan utilizar una fórmula para determinar el espacio delimitado por sus lados o contorno. Sin embargo, el proceso de determinación del área de una fi gura compuesta resulta ser una tarea de análisis y estrategia, debido a que el trazo y la representación se relacionan mediante puntos y lineas que se intersecan (círculos y otras figuras geométricas combinadas).
En esos casos es importante tomar en cuenta cada una de las definiciones, características y propiedades de las figuras para que al hacer el análisis se encuentren formulaciones y conjeturas que establezcan afirmaciones y proporcionen los datos numéricos para calcular la superficie o área con las fórmulas adecuadas.
El área de una figura geométrica plana es la medida bidimensional de una superficie; es la región plana delimitada por el contorno de una figura.
En la siguiente fi gura se plantea el cálculo del área sombreada a través del análisis de los elementos, características y propiedades de las fi guras que se intersecan y que delimitan la región sombreada.
Se proporcionan los siguientes datos:
1Círculo con centro en (i O y radio \overline{OQ}=2 cm
2.Círculo con centro en P y radio \overline{QP}=2 cm
3.El punto Q es punto de tangencia de los dos círculos.
A En el rectángulo KNML están inscritos los dos círculos.
KM es una diagonal del rectángulo KNML.
Al analizar las características y propiedades de las fi guras geométricas, se deduce lo siguiente:
- Se puede calcular el área de los dos círculos utilizando la fórmula A=\pi r^{2} y la medida del radio.
La fórmula del área del círculo es A=\pi r^{2} ,así:
Sustituyendo el valor del radio:A=\pi(2cm)^2
Como ambos círculos son del mismo tamano, el área de cada uno es:A=4\pi cm^2
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