Área de regiones sombreadas: rectángulo con círculos inscritos

Paso 1

Área total de los dos círculos inscritos.

1. Cada círculo tiene radio r = 2\,\text{cm}.
2. Área de un círculo: A = \pi r^{2} = \pi (2\,\text{cm})^{2} = 4\pi\,\text{cm}^{2}.
3. Como son dos círculos: A_{T} = 2A = (2)(4\pi\,\text{cm}^{2}) = 8\pi\,\text{cm}^{2}.

Respuesta: A_{T} = 8\pi\,\text{cm}^{2} \approx 25.13\,\text{cm}^{2}.

Paso 2

Base del rectángulo KNML, \overline{MN}.

1. La base equivale a dos diámetros o cuatro radios.
2. \overline{MN} = (4)(2\,\text{cm}).
3. \overline{MN} = 8\,\text{cm}.

Respuesta: \overline{MN} = 8\,\text{cm}.

Paso 3

Altura del rectángulo KNML, \overline{LM}.

1. La altura equivale a un diámetro o dos radios.
2. \overline{LM} = (2)(2\,\text{cm}).
3. \overline{LM} = 4\,\text{cm}.

Respuesta: \overline{LM} = 4\,\text{cm}.

Paso 4

Área del rectángulo KNML.

1. Fórmula: A = b \times h.
2. b = \overline{MN} = 8\,\text{cm}; h = \overline{LM} = 4\,\text{cm}.
3. A = (8\,\text{cm})(4\,\text{cm}).
4. A = 32\,\text{cm}^{2}.

Respuesta: A = 32\,\text{cm}^{2}.

Paso 5

La diagonal \overline{KM} divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales.

1. Cada triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.
2. A_{\triangle} = \frac{32\,\text{cm}^{2}}{2} = 16\,\text{cm}^{2}.

Respuesta: cada triángulo tiene 16\,\text{cm}^{2}.

Paso 6

Área de la región sombreada (regiones no comunes).

1. Área sombreada = área del rectángulo − área total de los círculos.
2. A_{s} = 32\,\text{cm}^{2} - 8\pi\,\text{cm}^{2}.
3. A_{s} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^{2}.
4. Numéricamente: A_{s} \approx 32 - 25.13 = 6.87\,\text{cm}^{2}.

Respuesta: A_{s} = (32 - 8\pi)\,\text{cm}^{2} \approx 6.87\,\text{cm}^{2}.