Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

SEP/CONALITEG

108/339

Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas: números consecutivos y edades

📄 ejemplo matematica 🎓 otro · 3° TELESECUNDARIA México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 108

108 de 339

Anterior Página 108 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

Problema 2: los números son 17 y 18 (17 × 18 = 306). Problema 3: Emmanuel tiene 12 años y su hermano 9 años (9² + 12² = 225).

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 108

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

(Problema 2 de la página)

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Identificar la incógnita: Se llama $x$ al primer desconocido. El consecutivo de un número es mayor que él en una unidad, es decir, $x + 1$ . Ejemplos de consecutivos: 1 y 2, 5 y 6, 15 y 16.
Plantear la ecuación: La multiplicación de dos números consecutivos es igual a 306: $x(x+1) = 306$

Ejercicio 3

Resolver la ecuación:

Al multiplicar: x^{2} + x = 306
- Igualar con cero: $x^{2} + x - 306 = 0$
- Producto de factores binomiales: $(x - 17)(x + 18) = 0$
- Igualar factores a cero: si $x - 17 = 0$ , entonces $x_{1} = 17$ ; si $x + 18 = 0$ , entonces $x_{2} = -18$ .

Interpretar la solución: Hay dos soluciones, una negativa y otra positiva. Como el problema pide números naturales (positivos), $-18$ no es válida. La solución válida es $x = 17$ y su consecutivo es $18$ .

Respuesta

Los números son 17 y 18, ya que $17 \times 18 = 306$ .

Ejercicio 2

(Problema 3 de la página)

Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Identificar la incógnita: Se desconoce la edad del hermano, representada con $w$ .

Ejercicio 2

Plantear la ecuación:

Edad del hermano: $w$
Edad de Emmanuel: $w + 3$
Cuadrado de la edad del hermano: $w^{2}$
Cuadrado de la edad de Emmanuel: $(w+3)^{2}$
Suma de cuadrados igual a 225: $w^{2} + (w+3)^{2} = 225$

Ejercicio 3

Resolver la ecuación:

Expandir: w^{2} + w^{2} + 6w + 9 = 225
- Simplificar: $2w^{2} + 6w + 9 = 225$
- Restar 225: $2w^{2} + 6w - 216 = 0$
- Dividir entre 2: $w^{2} + 3w - 108 = 0$
- Factorizar: $(w + 12)(w - 9) = 0$
- Soluciones: $w = -12$ o $w = 9$

Interpretar la solución: Como la edad no puede ser negativa, se descarta $w = -12$ . Así, $w = 9$ es la edad del hermano. La edad de Emmanuel es $w + 3 = 9 + 3 = 12$ .

Respuesta

Emmanuel tiene 12 años (su hermano tiene 9 años). Verificación: $9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$ .

Contenido de la página

Problema 2

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Pasos de resolución:

Identificar la incógnita y asignarle una literal: se llama x al primer desconocido; su consecutivo es x + 1.
Plantear la ecuación: x(x+1) = 306.
Resolver la ecuación: x² + x = 306 → x² + x − 306 = 0 → (x − 17)(x + 18) = 0 → x = 17 o x = −18.
Interpretar la solución: como se piden números naturales, se descarta −18. Los números son 17 y 18.

Problema 3

Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Pasos de resolución:

Identificar la incógnita: la edad del hermano es w.
Plantear la ecuación: edad de Emmanuel = w + 3; cuadrados: w² y (w+3)²; ecuación: w² + (w+3)² = 225.

Ejemplos resueltos

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Sea x el primer número y x+1 el consecutivo. x(x+1)=306 → x²+x−306=0 → (x−17)(x+18)=0 → x=17 (se descarta −18). Números: 17 y 18.

Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Edad del hermano: w; edad de Emmanuel: w+3. w²+(w+3)²=225 → 2w²+6w−216=0 → w²+3w−108=0 → (w+12)(w−9)=0 → w=9. Emmanuel: 9+3=12 años.

Tablas (2)

Paso	Consideraciones
1. Identificar la incógnita	Llamar x al primer desconocido; su consecutivo es x + 1
2. Plantear la ecuación	x(x + 1) = 306
3. Resolver la ecuación	x² + x − 306 = 0 → (x − 17)(x + 18) = 0
4. Interpretar la solución	Se descarta −18; los números son 17 y 18

Paso	Consideraciones
1. Identificar la incógnita	La edad del hermano es w
2. Plantear la ecuación	w² + (w + 3)² = 225

Fórmulas y ecuaciones

x(x+1)=306

$w^{2}+(w+3)^{2}=225$

x(x+1)=306

$x^{2}+x-306=0$

(x-17)(x+18)=0

$w^{2}+(w+3)^{2}=225$

$2w^{2}+6w-216=0$

$w^{2}+3w-108=0$

(w+12)(w-9)=0

Glosario (4)

Número consecutivo: Número que sigue inmediatamente a otro; si el primero es x, el consecutivo es x + 1.
Ecuación cuadrática: Ecuación de segundo grado con la forma ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0.
Factorización: Expresar un polinomio como producto de factores más simples.
Incógnita

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasModelación de problemasNúmeros consecutivosEdades y suma de cuadradosincógnitanúmero consecutivoecuación cuadráticafactorización en binomiosdescarte de soluciones no válidas

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se plantea una ecuación cuadrática a partir de un problema de números consecutivos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué se descarta una solución negativa en problemas de edades?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se factoriza una ecuación de la forma x² + x - 306 = 0?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con expresiones algebraicas
• Planteamiento de ecuaciones de primer grado
• Concepto de número consecutivo
• Producto de binomios y factorización básica

Siguiente tema sugerido

Más problemas modelados con ecuaciones cuadráticas (perímetros, áreas, números naturales)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2492 caracteres

Problema 2

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Los pasos de resolución se muestran a continuación:

Problema 3

Emmanuel es 3 anos mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Los pasos de resolución se muestran a continuación:

我

107敬

Pasos	Consideraciones
1. ldentificar la incógnita y asignarle una literal.	Se puede llamar x al primer desconocido. El consecutivo de un número es mayor que él en una unidad. Entonces, para el número dado x, su número consecutivo es una unidad más grande, es decir, Algunos ejemplos de números consecutivos son 1 $x+1$ $y2,5y6015y16.$
2.Plantear la ecuación.	Ahora, ya se puede expresar en lenguaje algebraico el problema planteado, es decir, la multiplicación de dos números consecutivos es igual a 306: $x(x+1)=306$
3. Resolver la ecuación.	Al multiplicar × por en la ecuación se tiene: Ahora se iguala con cero: Al escribir la ecuación como producto de factores binomiales: Se igualan los dos factores a cero, y se resuelven: $(x-17)(x+18)=0$ $x^{2}+x=306$ $x^{2}+x-306=0$ $\mathrm{Si}x-17=0,\mathrm{entonces}x_{1}=17$ $y x+18=0,\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}x_{2}=-18$ $x\pm1$
4.Interpretar la solución.	Se puede observar que hay dos soluciones, una negativa y otra positiva; ya que el problema pide números naturales, que son positivos, el número —18 no es una solución válida. Así, la solución válida es el número 17 y su consecutivo es 18. Entonces se concluye que el producto de 17 y 18 es igual a 306.

Pasos	Consideraciones
1. ldentificar la incógnita y asignarle una literal.	Se sabe que Emmanuel es 3 anos mayor que su hermano, pero no se conoce la edad del hermano. Esta última edad se representa con la letra w.
2.Plantear la ecuación.	Si la edad del hermano es w y Emmanuel es 3 años mayor que su hermano, la edad de este último se expresa como El cuadrado de la edad del hermano es w². El cuadrado de la edad de Emmanuel es El problema dice que la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Esa relación se expresa en la siguiente ecuación: $w^{2}+(w+3)^{2}=225$ $(w+3)^{2}$ $w+3$