Volumen del cono y definición de la esfera

Explicar por qué el volumen del cono es un tercio del producto del área de la base por la altura.

1. Un cono se puede aproximar mediante pirámides de base poligonal regular con muchos lados, tal como un cilindro se aproxima con prismas.
2. Se sabe que el volumen de una pirámide es V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3} B \times h, donde B es el área de la base.
3. Al aumentar el número de lados del polígono, la pirámide se aproxima cada vez más al cono, por lo que se conserva el factor \frac{1}{3}.
4. Por lo tanto, el volumen del cono es V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} B \times h.
5. Si la base es un círculo de radio r, entonces B = \pi r^{2}, de modo que V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h.

Calcular el volumen de un cono recto con radio de base r = 3 \, \text{cm} y altura h = 5 \, \text{cm}.

1. Identificar los datos: r = 3 \, \text{cm}, h = 5 \, \text{cm}.
2. Calcular el área de la base: B = \pi r^{2} = \pi (3)^{2} = 9\pi \, \text{cm}^{2}.
3. Aplicar la fórmula: V = \frac{1}{3} B \times h.
4. Sustituir: V = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 5 = 3\pi \times 5 = 15\pi \, \text{cm}^{3}.
5. Aproximar con \pi \approx 3.14: V \approx 15 \times 3.14 = 47.1 \, \text{cm}^{3}.

Comparar el volumen de un cilindro y un cono con la misma base y altura.

1. El volumen del cilindro es V_{\text{cilindro}} = B \times h = \pi r^{2} h.
2. El volumen del cono es V_{\text{cono}} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h.
3. Dividir uno entre otro: \frac{V_{\text{cono}}}{V_{\text{cilindro}}} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}h} = \frac{1}{3}.

¿Por qué la fórmula del volumen del cono es la misma si el cono es recto o oblicuo?

1. En un cono recto, el vértice está alineado con el centro de la base, de modo que la altura es el segmento perpendicular entre el plano de la base y el vértice.
2. En un cono oblicuo, la altura sigue siendo la distancia perpendicular entre el plano de la base y el vértice, aunque el eje esté inclinado.
3. Por el principio análogo al de los cilindros (equivalencia de Cavalieri), sólidos con igual área de base e igual altura en cada sección paralela tienen el mismo volumen.
4. Por eso, en ambos casos V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h.

Definir la esfera y describir qué ocurre cuando un plano la corta pasando por su centro.

1. La esfera es el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
2. Esa distancia constante es el radio r de la esfera.
3. Si un plano corta a la esfera pasando por su centro, la sección obtenida es un círculo llamado círculo máximo o grande.
4. Ese círculo tiene el mismo centro y el mismo radio r que la esfera.