El sólido de revolución obtenido al girar un cuadrado alrededor de un eje tiene un volumen de 24\pi \, \text{cm}^{3}. ¿Cuál es el volumen del sólido resultante si la figura se rota tres cuartos del giro completo?

1. Identificar el sólido completo: al rotar el cuadrado un giro completo (360^{\circ}) alrededor del eje de revolución se obtiene un cilindro, cuyo volumen es V_{\text{completo}} = 24\pi \, \text{cm}^{3}.
2. Determinar la fracción de giro: el problema indica que se realiza tres cuartos del giro completo, es decir, una rotación de \frac{3}{4} \times 360^{\circ} = 270^{\circ}.
3. Aplicar la propiedad de rotaciones incompletas: el volumen del sólido resultante es la fracción correspondiente del volumen del giro completo.
4. Sustituir los valores en la relación: V = \left(\frac{3}{4}\right)\left(24\pi \, \text{cm}^{3}\right)
5. Realizar la multiplicación: \frac{3}{4} \times 24 = 18, por lo tanto: V = 18\pi \, \text{cm}^{3}

Propiedades de los cortes axiales (recordatorio de la página)

1. Corte de un cilindro recto por un plano que contiene el eje de revolución: siempre genera un rectángulo.
2. Corte de un cono recto por un plano que contiene el eje de revolución: siempre genera un triángulo isósceles.
3. Corte de una esfera por un plano que contiene el eje de revolución: siempre genera una circunferencia (en realidad, un círculo; la intersección es la circunferencia que lo delimita).

Respuesta: rectángulo, triángulo isósceles y circunferencia, respectivamente.

¿Por qué las propiedades geométricas de los sólidos de revolución se aprovechan en la industria y en máquinas como los tornos?

1. Los sólidos de revolución presentan simetría respecto de su eje, lo que permite obtener piezas con forma regular al girar la pieza de trabajo.
2. Un torno gira la madera, metal o plástico alrededor de un eje mientras una herramienta la modela, reproduciendo exactamente la figura plana que se rota.
3. Así se fabrican objetos simétricos de manera eficiente y con gran precisión dimensional.

Respuesta orientativa: Porque los sólidos de revolución son simétricos respecto de su eje; al girar la pieza en el torno y aplicar la herramienta se obtiene de forma precisa y eficiente un objeto simétrico en madera, metal o plástico.