Esfera como sólido de revolución

La esfera se obtiene girando una semicircunferencia de modo que el eje de revolución sea una prolongación de su diámetro.

1. La semicircunferencia tiene todos los puntos de su lado curvo a la misma distancia del punto medio del diámetro (su centro).
2. Al girarla 360^\circ (es decir, 2\pi radianes) alrededor del eje, cada punto describe una circunferencia perpendicular al eje.
3. El conjunto de todos esos puntos es la esfera: el conjunto de puntos equidistantes de un punto llamado centro.
4. Esa distancia constante hasta el centro es el radio de la esfera, r. Si el semicírculo tiene diámetro d, entonces d = 2r.
5. La esfera comparte centro y radio con la semicircunferencia original, porque la rotación no cambia esas medidas.

Respuesta: La esfera es el sólido de revolución generado por una semicircunferencia al girarla alrededor de la prolongación de su diámetro; todos sus puntos están a una distancia r (radio) del centro.

Ejemplo: identificar el sólido de revolución

Identificar el sólido de revolución obtenido con la figura plana (triángulo + cuadrado) y el eje mostrados.

1. Se descompone la figura plana: un triángulo rectángulo arriba y un cuadrado (rectángulo) abajo, con un lado sobre el eje de revolución.
2. Al girar el triángulo rectángulo respecto de uno de sus catetos se genera un cono: V_{cono} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1}.
3. Al girar el cuadrado respecto de un lado se genera un cilindro: V_{cilindro} = \pi r^{2}h_{2}.
4. El sólido total es la combinación: un cono apoyado sobre un cilindro de igual radio r.
5. Volumen total: V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1} + \pi r^{2}h_{2} = \pi r^{2}\left(\frac{h_{1}}{3} + h_{2}\right).

Respuesta: El sólido obtenido es un cono circular unido a un cilindro circular (cono sobre cilindro) de igual radio.

Propiedades de los sólidos de revolución

1. Si se hace girar el sólido sobre su propio eje de revolución, se obtiene exactamente el mismo sólido (simetría rotacional).
2. Ante cualquier corte con un plano que contenga el eje de revolución, la sección obtenida es siempre la misma figura (figura generatriz o su simétrica).

Ejemplo de verificación: al cortar una esfera por un plano que pasa por su centro se obtiene siempre una circunferencia de radio igual al de la esfera, r.

Respuesta: Propiedades: (1) invarianza bajo rotación sobre su eje; (2) toda sección axial es idéntica a la figura generatriz.