Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Comprensión de las relaciones entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro

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$V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} h$ . 2) Recto: proyección perpendicular; oblicuo: no perpendicular; ambos con $V=\pi r^{2}h$ . 3) $V = 45\pi \approx 141.3 \, \text{cm}^{3}$ . 4) $h = 4 \, \text{cm}$ .

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Solución — Página 128

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Transcribir y explicar la fórmula del volumen del cilindro presentada en la página.

La página parte de un prisma cuya base es un polígono regular con muchos lados, el cual se aproxima a un cilindro.
El volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura: $V = B \times h$ .
En un cilindro la base es un círculo de radio $r$ , cuyo área es $B = \pi r^{2}$ .
Sustituyendo $B$ en la fórmula del prisma: $V_{\text{cilindro}} = B \times h = \pi r^{2} \times h$ .
Por lo tanto: $V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} h$ , válida tanto para cilindros rectos como oblicuos.

Respuesta

$V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} h$ .

Ejercicio 2

Explicar la diferencia entre cilindro recto y cilindro oblicuo según la página.

Un cilindro se obtiene proyectando un círculo de un plano sobre otro plano paralelo.
Si la proyección sigue una trayectoria perpendicular a los planos, se obtiene un cilindro recto (rectangular).
Si la trayectoria no es perpendicular, se obtiene un cilindro oblicuo.
A pesar de esta diferencia, la fórmula del volumen $V = \pi r^{2} h$ es válida en ambos casos, igual que para los prismas.

Respuesta

El cilindro recto se forma con proyección perpendicular a los planos base; el oblicuo, con proyección no perpendicular. Ambos cumplen $V = \pi r^{2} h$ .

Ejercicio 3

Aplicar la fórmula para un cilindro con radio $r = 3 \, \text{cm}$ y altura $h = 5 \, \text{cm}$ .

Fórmula: $V = \pi r^{2} h$ .
Sustituir: $V = \pi \times (3)^{2} \times 5$ .
Calcular: $V = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi \, \text{cm}^{3}$ .
Aproximación con $\pi \approx 3.14$ : $V \approx 45 \times 3.14 = 141.3 \, \text{cm}^{3}$ .

Respuesta

$V = 45\pi \, \text{cm}^{3} \approx 141.3 \, \text{cm}^{3}$ .

Ejercicio 4

Calcular la altura de un cilindro cuyo volumen es $V = 100\pi \, \text{cm}^{3}$ y cuyo radio es $r = 5 \, \text{cm}$ .

Fórmula: $V = \pi r^{2} h$ .
Sustituir: $100\pi = \pi \times (5)^{2} \times h$ .
Simplificar: $100\pi = 25\pi h$ .
Despejar $h$ : $h = \dfrac{100\pi}{25\pi} = 4 \, \text{cm}$ .

Respuesta

$h = 4 \, \text{cm}$ .

Contenido de la página

Comprensión de las relaciones entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro

Entre los cuerpos geométricos con superficies curvas destacan la esfera, el cilindro y el cono, cuyos volúmenes se calculan con procedimientos similares a los usados para los poliedros, pero aplicados a cantidades cada vez más pequeñas.

Además, la relación que hay entre el cálculo de los volúmenes de estos sólidos también existe porque están vinculados con una curva plana muy conocida y útil en la vida diaria: el círculo.

Un cilindro es un cuerpo geométrico que se obtiene con la proyección de un círculo ubicado en un plano sobre otro plano paralelo. Si esta proyección sigue una trayectoria perpendicular a los planos, entonces se obtiene un cilindro recto o rectangular (a la izquierda en la imagen), de lo contrario se obtiene un cilindro oblicuo (a la derecha).

Diagrama de un cilindro recto (izquierda) y uno oblicuo (derecha) entre dos planos paralelos, rotulados con Radio, Altura y Centro.

Al respecto, dos cosas se pueden obtener inicialmente. En primer lugar, a partir de un prisma cuya base sea un polígono regular con una gran cantidad de lados, de suerte que se aproxima a un cilindro, su volumen se puede obtener de una manera similar al de un prisma: multiplicando el área de la base ( $B$ ) por la altura. Entonces, si $r$ es el radio del círculo de la base del cilindro y $h$ es la altura del cilindro, la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:

$V_{\text{cilindro}} = B \times h = \pi r^{2} h$

En segundo lugar, como en el caso de los prismas, esta fórmula es válida sin importar si el cilindro es recto o no.

Ahora bien, si desde el centro de cualesquiera de las bases de un cilindro (puede ser la superior), se hace una proyección hasta el contorno de la otra base, se obtiene una superficie curva, la cual, unida a la base, forma un (cono: continúa en la página siguiente).

Ejemplos resueltos

Calcular el volumen de un cilindro con radio $r = 3 \, \text{cm}$ y altura $h = 5 \, \text{cm}$ .

$V = \pi r^{2} h$ .
$V = \pi \times 3^{2} \times 5 = 45\pi \, \text{cm}^{3} \approx 141.3 \, \text{cm}^{3}$ .

Tabla

Sólido	Fórmula del volumen
Prisma	$V = B \times h$
Cilindro	$V = \pi r^{2} h$

Diagrama

flowchart LR
  A[Polígono regular con muchos lados] --> B[Se aproxima al círculo]
  B --> C[Prisma con base poligonal]
  C --> D[Cilindro]
  D --> E[V = B x h]
  E --> F[V = pi r^2 h]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = B $\times$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ h

B = $\pi$ $r^{2}$

Glosario (4)

Cilindro: Cuerpo geométrico obtenido al proyectar un círculo de un plano sobre otro plano paralelo.
Cilindro recto: Cilindro cuya proyección es perpendicular a los planos de las bases.
Cilindro oblicuo: Cilindro cuya proyección no es perpendicular a los planos de las bases.
Volumen: Cantidad de espacio que ocupa un sólido, medida en unidades cúbicas.

Preguntas para practicar

¿Por qué la fórmula del volumen del cilindro se deduce a partir del prisma?

Porque un polígono regular con muchos lados se aproxima cada vez más a un círculo, de modo que el prisma correspondiente se aproxima al cilindro y comparten la estructura $V = B \times h$.

¿La fórmula del volumen cambia si el cilindro es oblicuo?

No. Al igual que con los prismas, la fórmula $V = \pi r^{2} h$ es válida tanto para cilindros rectos como oblicuos, porque el volumen depende del área de la base y de la altura.

Temas y conceptos clave

Volumen del cilindroCilindro recto y oblicuoRelación prisma-cilindrocilindrocilindro rectocilindro oblicuovolumenárea de la basealturaradiocírculo

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Figuras de la página (1)

Diagrama entre dos planos paralelos: a la izquierda un cilindro recto y a la derecha uno oblicuo, ambos rotulados con Radio, Altura y Centro; se marca el ángulo recto de la altura del cilindro recto. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se deduce la fórmula del volumen del cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la diferencia entre un cilindro recto y uno oblicuo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué la fórmula del volumen del cilindro es similar a la del prisma?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área del círculo: A = pi r^2
• Volumen de un prisma: V = B x h
• Concepto de altura y radio en sólidos

Siguiente tema sugerido

Volumen del cono y su relación con el cilindro

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1801 caracteres

Comprensión de las relaciones entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro

Además, la relación que hay entre el cálculo de los volúmenes de estos sólidos también existe porque están vinculados con una curva plana muy conocida y útil en la vida diaria: el círculo.

Un cilindro es un cuerpo geométrico que se obtiene con la proyección de un círculo ubicado en un plano sobre otro plano paralelo. Si esta proyección sigue una trayectoria perpendicular a los planos, entonces se obtiene un cilindro recto o rectangular (a la izquierda en la imagen), de lo contrario se obtiene un cilindro oblicuo (a la derecha):

Al respecto, dos cosas se pueden obtener inicialmente. En primer lugar, a partir de un prisma cuya base sea un poligono regular con una gran cantidad de lados, de suerte que se aproxima a un cilindro, su volumen se puede obtener de una manera similar al de un prisma:multiplicando el área de la base (B) por la altura. Entonces, si r es el radio del círculo de la base del cilindro y h es la altura del cilindro, la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:

$\begin{array}{l}V_{\mathrm{c l i n d r o}}=B\times b\\ =\pi r^{2}b\end{array}$

En segundo lugar, como en el caso de los prismas, esta fórmula es válida sin importar si el cilindro es recto o no.

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