Describir los 5 pasos del principio de Cavalieri tal como aparecen en la página.

1. Se toman dos sólidos (1 y 2) y se colocan sobre un mismo plano a.
2. Se cortan los dos sólidos con un plano b paralelo al plano de apoyo.
3. Se comparan las áreas de las secciones obtenidas en ambos sólidos en el corte.
4. Se repiten los pasos 2 y 3 a distintas alturas, hasta que el plano paralelo deje de intersectar los sólidos.
5. Si en todas las alturas las áreas de los cortes son iguales, entonces los dos sólidos tienen el mismo volumen.

Aplicar el principio de Cavalieri a los dos sólidos de la segunda figura (esfera de radio r y cilindro menos dos conos).

1. Sólido 1: esfera de radio r, cuyo volumen se busca: V_{\text{esfera}}.
2. Sólido 2: cilindro recto de radio r y altura 2r, del que se han retirado dos conos rectos de base \pi r^{2} y altura r cada uno, con vértices coincidentes en el centro del cilindro.
3. Cortamos ambos sólidos con un plano a una distancia x del centro. En la esfera, el radio de la sección circular es \sqrt{r^{2}-x^{2}}, por tanto su área es A_{1}=\pi\left(r^{2}-x^{2}\right)=\pi r^{2}-\pi x^{2}.
4. En el cilindro con los dos conos retirados, el área de la sección es el círculo del cilindro menos el anillo dejado por los conos: A_{2}=\pi r^{2}-\pi x^{2} (los conos a la altura x tienen radio x).
5. Como A_{1}=A_{2} para toda altura x, por el principio de Cavalieri ambos sólidos tienen el mismo volumen.
6. Calculamos el volumen del sólido 2: V_{\text{cilindro}}=\pi r^{2}(2r)=2\pi r^{3}; V_{\text{2 conos}}=2\cdot\frac{1}{3}\pi r^{2}r=\frac{2}{3}\pi r^{3}.
7. Restamos: V_{\text{sólido 2}}=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.

Comparar los volúmenes de esfera, cilindro y cono (relación clásica).

1. Cilindro: V_{c}=\pi r^{2}(2r)=2\pi r^{3}.
2. Esfera: V_{e}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
3. Dos conos retirados: V_{2k}=\frac{2}{3}\pi r^{3}.
4. Verificación de la relación: V_{e}=V_{c}-V_{2k}, es decir \frac{4}{3}\pi r^{3}=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}, igualdad cierta.