Ejercicio 1
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Demostrar que un plano P paralelo a la base, ubicado a distancia d del centro, genera cortes de igual área en la esfera de radio r y en el cilindro de altura 2r al que se le retiraron los conos interiores.
Parte 1.a
Corte en la esfera
- El plano P corta la esfera en un círculo de radio r_{c}.
- El triángulo formado por el radio de la esfera, la distancia d y el radio del corte es rectángulo; por el teorema de Pitágoras: d^{2} + r_{c}^{2} = r^{2}.
- Despejamos r_{c}^{2}: r_{c}^{2} = r^{2} - d^{2}.
- Área del círculo obtenido: A_{\text{corte esfera}} = \pi r_{c}^{2} = \pi (r^{2} - d^{2}) = \pi r^{2} - \pi d^{2}.
Respuesta
A_{\text{corte esfera}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}.
Parte 1.b
Corte en el cilindro (con conos retirados)
- El mismo plano P corta el cilindro hueco en una corona circular (anillo).
- La corona tiene radio exterior R_{e} = r y radio interior R_{i} = d.
- Área de la corona = área del círculo mayor − área del círculo menor: A = \pi R_{e}^{2} - \pi R_{i}^{2}.
- Sustituyendo: A_{\text{corte cilindro}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}.
Respuesta
A_{\text{corte cilindro}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}.
Parte 1.c
Conclusión
- Ambas áreas son \pi r^{2} - \pi d^{2}.
- Por lo tanto, para cualquier distancia d, los cortes tienen la misma área.
- Como toda sección paralela a la base tiene igual área en ambos sólidos, los volúmenes también coinciden (principio de Cavalieri): V = \int_{-r}^{r}(\pi r^{2} - \pi d^{2})\,\text{d}d = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}.
Paso 2 (verificación con valores)
- Tomamos r = 5 y d = 3.
- Corte en la esfera: r_{c}^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16, luego A = \pi (16) = 16\pi.
- Corte en el cilindro: corona con R_{e} = 5, R_{i} = 3, luego A = \pi(5^{2}) - \pi(3^{2}) = 25\pi - 9\pi = 16\pi.
- Ambos coinciden, como lo predice la fórmula \pi r^{2} - \pi d^{2} = 25\pi - 9\pi = 16\pi.
Respuesta orientativa: ambos cortes valen 16\pi \approx 50{,}27 unidades de área, confirmando la igualdad.
Respuesta
A_{\text{corte esfera}} = A_{\text{corte cilindro}} = \pi r^{2} - \pi d^{2}, de donde se deduce que los volúmenes son iguales.
