Volumen de la esfera mediante el principio de Cavalieri

Demostración del volumen de la esfera (principio de Cavalieri)

Se comparan dos sólidos: la esfera (izquierda) y un cilindro al que se le quitaron dos conos (derecha). Ambos tienen cortes de igual área en cualquier plano P, por lo que por el principio de Cavalieri sus volúmenes son iguales. Calculamos el volumen del segundo sólido.

1. Volumen del cilindro de radio r y altura b = 2r: V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2}b = \pi r^{2}(2r) = 2\pi r^{3}

2. Volumen de un cono de radio r y altura r: V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^{2}b = \frac{1}{3}\pi r^{2}(r) = \frac{1}{3}\pi r^{3} Se quitan dos conos (uno arriba y otro abajo), así que: V_{\text{conos}} = 2 \times \frac{1}{3}\pi r^{3} = \frac{2}{3}\pi r^{3}

3. Restamos del cilindro los dos conos quitados: V_{\text{cilindro}} - V_{\text{conos}} = \pi r^{2}(2r) - 2\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}(r)\right) = 2\pi r^{3} - \frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{6}{3}\pi r^{3} - \frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi r^{3}

4. Por el principio de Cavalieri, la esfera tiene el mismo volumen que este sólido: V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}

Respuesta: El volumen de una esfera de radio r es \frac{4}{3}\pi r^{3}.

Relaciones entre cilindro, cono y esfera

Relación cono–cilindro

Si cilindro y cono comparten la misma base (radio r) y la misma altura h:

• V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2}h
• V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}V_{\text{cilindro}}

Respuesta: El volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro.

Relación esfera–cilindro

Si el cilindro tiene de base el mismo radio r que la esfera y altura b = 2r:

• V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2}(2r) = 2\pi r^{3}
• V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}

Proporción: \frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cilindro}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^{3}}{2\pi r^{3}} = \frac{4}{3} \div 2 = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}

Respuesta: El volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro circunscrito.

Idea central: los tres sólidos se relacionan porque sus superficies curvas pueden generarse a partir de círculos.