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Idea central

Existen distintas técnicas para calcular el volumen de sólidos geométricos (prismas, pirámides y cilindros) en términos de sus medidas principales. Aquí se deduce la del prisma de base rectangular.

Paso 1: Contar los cubos pequeños

Se identifican los cubos unitarios que componen el prisma en las tres direcciones:

• n_{\text{ancho}}: número de cubos en el ancho.
• n_{\text{largo}}: número de cubos en el largo.
• n_{\text{alto}}: número de cubos en el alto.

El número total de cubos es:

n_T = n_{\text{ancho}} \times n_{\text{largo}} \times n_{\text{alto}}

Paso 2: Volumen de cada cubo pequeño

Cada cubo tiene arista l_c, así que su volumen es el triple producto de esa arista:

V_c = l_c^{3} = l_c \times l_c \times l_c

Paso 3: Volumen total del prisma

El volumen del prisma V_P es el número de cubos por el volumen de cada cubo:

V_P = n_T \times V_c = (n_{\text{ancho}} \times n_{\text{largo}} \times n_{\text{alto}}) \times (l_c \times l_c \times l_c)

Paso 4: Reagrupar el producto

Como es un producto conmutativo y asociativo, se reagrupan los factores de la misma dirección:

V_P = (n_{\text{ancho}} \times l_c) \times (n_{\text{largo}} \times l_c) \times (n_{\text{alto}} \times l_c)

Cada paréntesis es la medida real del sólido: ancho = n_{\text{ancho}} \cdot l_c, largo = n_{\text{largo}} \cdot l_c, alto = n_{\text{alto}} \cdot l_c. Por tanto:

V_P = \text{ancho} \times \text{largo} \times \text{alto}

que es la fórmula conocida del volumen del prisma rectangular (área de la base por la altura, V = A_b \cdot h).

Respuesta: V_P = \text{ancho} \times \text{largo} \times \text{alto} = A_b \times h.