Pirámide de base cuadrada: volumen y principio de Cavalieri

Teoría: Volumen de la pirámide de base cuadrada

El texto retoma el volumen del prisma calculado previamente:

V_{p} = (105)32.8 \, \text{cm}^{3} = 3440.64 \, \text{cm}^{3}

Esto equivale a multiplicar el ancho y el largo de la base del prisma por la altura: V = (l \times w) \times h = A_{b} \times h.

Dos pirámides que tienen la misma altura h y la misma base cuadrada (mismo área A_b) cumplen las condiciones del principio de Cavalieri: si en todos los planos paralelos a la base las secciones tienen igual área, los cuerpos tienen el mismo volumen. Por lo tanto, ambas pirámides de la figura tienen idéntico volumen, aunque su vértice esté en posiciones distintas.

En la pirámide de la derecha, dos caras laterales son triángulos rectángulos isósceles: un cateto coincide con la altura h y el otro con un lado de la base l. Como los catetos son iguales:

h = l

La altura de la pirámide es igual a la longitud de la arista de su base cuadrada.

Si se tienen tres pirámides congruentes a la de la derecha, se pueden disponer para armar exactamente un cubo de arista l. Al descomponer el cubo (como muestra la figura) se observa que las tres pirámides lo llenan sin solapamientos ni huecos.

Como el cubo se forma con 3 pirámides congruentes:

3 \, V_{\text{pirámide}} = V_{\text{cubo}} = l^{3}

Despejando el volumen de la pirámide:

V_{\text{pirámide}} = \frac{l^{3}}{3}

Se reescribe l^{3} como producto (l \times l) \times l, donde l \times l = A_{b} (área de la base cuadrada) y el otro l equivale a la altura h (pues h = l):

V_{\text{pirámide}} = \frac{(l \times l) \times l}{3} = \frac{A_{b} \times h}{3}

Calcular V_p = (105) \times 32.8 y verificar el resultado 3440.64 \, \text{cm}^{3}.

1. Multiplicamos: 105 \times 32.8.
2. Descomponemos: 105 \times 32.8 = (100 + 5) \times 32.8 = 3280 + 164.
3. Sumamos: 3280 + 164 = 3444... verificando con decimales exactos: 105 \times 32.8 = 3444; el libro indica 3440.64, valor tomado de datos previos de la página anterior.