Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Volumen del cilindro a partir de prismas con base poligonal

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Respuesta rápida

$V_{cilindro}$ = b × h = πr²h; $V_{pirámide}$ = (1/3)bh. El principio de Cavalieri permite calcular volúmenes de sólidos inclinados con igual área de sección e igual altura.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 137

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Deducir la fórmula del volumen del cilindro a partir de prismas con base polígono regular de n lados.

Partimos de un prisma recto con base polígono regular de $n$ lados y altura $h$ ; su volumen es $V_{prisma} = b \times h$ , donde $b$ es el área de la base.
Al aumentar $n$ (triángulo → hexágono → polígono de 30 lados), el área de la base $b$ se aproxima cada vez más al área de un círculo de radio $r$ , es decir, $b \to \pi r^{2}$ .
En el límite, cuando $n \to \infty$ , el polígono se convierte en un círculo y el prisma se convierte en un cilindro, conservando la misma altura $h$ .
Por lo tanto, el volumen del cilindro es $V_{cilindro} = b \times h$ con $b = \pi r^{2}$ .
Sustituyendo: $V_{cilindro} = \pi r^{2} \times h$ .

Respuesta

$V_{cilindro} = b \times h = \pi r^{2} h$

Ejercicio 2

Escribir la fórmula del volumen del cilindro en términos del área de la base y en términos del radio.

En términos del área de la base $b$ : $V_{cilindro} = b \times h$ , donde $b$ es el área de la base circular y $h$ la altura.
En términos del radio $r$ : la base es un círculo, cuya área es $b = \pi r^{2}$ .
Sustituyendo en la fórmula anterior: $V_{cilindro} = \pi r^{2} \times h$ .

Respuesta

$V_{cilindro} = b \times h$ y $V_{cilindro} = \pi r^{2} h$

Ejercicio 3

Explicar por qué el volumen de una pirámide es un tercio del producto de su base por su altura.

Consideramos un cubo y una pirámide que comparten la misma base (cuadrada) y la misma altura $h$ .
El volumen del cubo es $V_{cubo} = b \times h$ (base por altura).
El volumen de la pirámide inscrita en el mismo cubo, con la misma base y altura, es exactamente un tercio del volumen del cubo.
Por lo tanto, $V_{pirámide} = \dfrac{1}{3} \times b \times h$ , donde $b$ es el área de la base y $h$ la altura.

Respuesta

$V_{pirámide} = \frac{1}{3} b h$

Ejercicio 4

¿Para qué sirve el principio de Cavalieri en el cálculo de volúmenes?

El principio de Cavalieri afirma que dos sólidos tienen el mismo volumen si, cortados por planos paralelos a una dirección dada, las secciones resultantes tienen siempre la misma área.
Permite calcular el volumen de sólidos inclinados o trasladados sin que cambie su sección transversal.
Así, un cilindro recto y uno oblicuo con la misma base y la misma altura vertical tienen el mismo volumen: $V = b \times h$ .

Respuesta orientativa: Permite deducir que sólidos con igual área de sección en todos los planos paralelos y igual altura tienen el mismo volumen, facilitando calcular volúmenes de prismas y cilindros inclinados con la fórmula $V = b \times h$ .

Contenido de la página

Como el cubo y la pirámide tienen la misma base y altura, entonces el volumen de ambas pirámides es un tercio del producto de su base por su altura.

Cilindro

El volumen de un cilindro se puede determinar con ayuda del volumen de los prismas que tiene un polígono regular como base.

En la siguiente imagen se muestra una secuencia de prismas, en la que aumenta el número de lados de la base de cada polígono.

(Imagen: secuencia de tres prismas — prisma de base triangular, prisma de base hexagonal y prisma con polígono de 30 lados como base — cuyo volumen se aproxima al de un cilindro.)

A medida que aumenta el número de lados del polígono de la base del prisma, su área se aproxima a la de un círculo. Con esto, el volumen del prisma se acerca al volumen de un cilindro a medida que aumenta el número de caras laterales.

Por la comparación del volumen de un cilindro y un prisma recto con polígono regular como base, se tiene que el volumen de un cilindro $V_{\text{cilindro}}$ se calcula con la fórmula:

$V_{\text{cilindro}} = b \times h$

En la que $h$ es la altura del cilindro y $b$ es el área de su base. En términos del radio del cilindro, el volumen es:

$V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2} \times h$

Tomando como base el cubo, se pueden deducir diferentes técnicas para calcular el volumen de algunos sólidos geométricos. Adicionalmente, se cuenta con el principio de Cavalieri, que permite calcular el volumen de sólidos geométricos inclinados. Las fórmulas que se obtienen están en términos de las principales medidas del sólido geométrico, como son su altura y el área de su base.

Ejemplos resueltos

Un cilindro tiene radio de base $r = 5 \, \text{cm}$ y altura $h = 10 \, \text{cm}$ . ¿Cuál es su volumen?

Área de la base: $b = \pi r^{2} = \pi (5)^{2} = 25\pi \, \text{cm}^{2}$ .
Aplicamos $V = b \times h$ : $V = 25\pi \times 10 = 250\pi \, \text{cm}^{3}$ .
Aproximando $\pi \approx 3.14$ : $V \approx 785 \, \text{cm}^{3}$ .

Respuesta: $V = 250\pi \approx 785 \, \text{cm}^{3}$ .

Tabla

Sólido	Fórmula del volumen
Prisma recto	$V = b \times h$
Cilindro	$V = b \times h = \pi r^{2} h$
Pirámide	$V = \dfrac{1}{3} b h$

Diagrama

flowchart LR
    A[Prisma base triangular] --> B[Prisma base hexagonal]
    B --> C[Prisma base polígono de 30 lados]
    C --> D[Cilindro: base círculo πr²]
    D --> E[V = πr²h]

Fórmulas y ecuaciones

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = b $\times$ h = $\pi$ $r^{2}$ h

$V_{$ $\text{pirámide}$ } = $\frac{1}{3}$ b h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = b $\times$ h

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $\pi$ $r^{2}$ h

$V_{$ $\text{prisma}$ } = b $\times$ h

$V_{$ $\text{pirámide}$ } = $\frac{1}{3}$ b h

Glosario (4)

Cilindro: Sólido con dos bases circulares paralelas e iguales y una superficie lateral curva; su volumen es el área de la base por la altura.
Área de la base (b): Área de la superficie plana inferior (o superior) del sólido; en el cilindro es el área del círculo πr².
Principio de Cavalieri: Principio según el cual dos sólidos tienen igual volumen si sus secciones por planos paralelos tienen siempre la misma área.
Prisma recto: Poliedro cuyas bases son polígonos congruentes y paralelos, y cuyas caras laterales son rectángulos.

Preguntas para practicar

¿Por qué el volumen de un prisma con base de polígono de muchos lados se aproxima al de un cilindro?

Porque al aumentar el número de lados del polígono regular, su área se aproxima cada vez más al área de un círculo y sus caras laterales se multiplican, de modo que la forma del prisma se aproxima a la de un cilindro y su volumen converge al volumen del cilindro πr²h con la misma altura.

¿Qué relación tiene el cubo con las fórmulas de volumen de otros sólidos?

El cubo (prisma rectangular) sirve como punto de partida: a partir de su volumen base por altura se deducen las fórmulas de prismas, cilindros (V = bh) y, comparando con pirámides, la fórmula V = (1/3)bh; el principio de Cavalieri extiende estos resultados a sólidos inclinados.

Temas y conceptos clave

Volumen del cilindroDeducción de fórmulas geométricasPrisma con base poligonalPrincipio de Cavaliericilindroárea de la basealturaradioprisma rectopolígono regularpirámideprincipio de Cavalieri

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Figuras de la página (2)

Secuencia de tres prismas: prisma de base triangular, prisma de base hexagonal y prisma con polígono de 30 lados como base, mostrando cómo el número de caras laterales aumenta y la forma se aproxima a un cilindro. — Figura 1 image

Figura 2 de Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026 — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se deduce la fórmula del volumen del cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué dice el principio de Cavalieri sobre los volúmenes?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el volumen de una pirámide es un tercio de base por altura?

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📌 Antes de leer esto

• Área del círculo (πr²)
• Volumen del prisma (base por altura)
• Concepto de límite intuitivo al aumentar los lados de un polígono

Siguiente tema sugerido

Cálculo de volúmenes de cilindros con datos numéricos y aplicaciones

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1594 caracteres

Como el cubo y la pirámide tienen la misma base y altura, entonces el volumen de ambas pirámides es un tercio del producto de su base por su altura.

Cilindro

El volumen de un cilindro se puede determinar con ayuda del volumen de los prismas que tiene un polígono regular como base.

En la siguiente imagen se muestra una secuencia de prismas, en la que aumenta el número de lados de la base de cada polígono.

A medida que aumenta el número de lados del poligono de la base del prisma, su área se aproxima a la de un círculo. Con esto, el volumen del prisma se acerca al volumen de un cilindro a medida que aumenta el número de caras laterales.

Por la comparación del volumen de un cilindro y un prisma recto con poligono regular como base, se tiene que el volumen de un cilindro $V_{\mathrm{cilindro}}$ se calcula con la fórmula:

$V_{cilindro}=b\times b$

En la que a es la altura del cilindro y b es el área de su base. En términos del radio del cilindro, el volumen es:

$V_{c l i n d r o}=\pi r^{2}\times h$

Tomando como base el cubo, se pueden deducir diferentes técnicas para calcular el volumen de algunos sólidos geométricos. Adicionalmente, se cuenta con el principio de Cavalieri, que permite calcular el volumen de sólidos geométricos inclinados. Las fórmulas que se obtienen están en términos de las principales medidas del sólido geométrico, como son su altura y el área de su base.

夢136

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Prisma de base triangular

Prisma de base hexagonal

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Prisma con poligono de 30 lados como base

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