Volumen de pirámide cuadrada y de un cofre (Ejemplos 3 y 4)

Ejemplo 3

La Gran Pirámide de Cholula se modela como una pirámide cuadrada de altura h = 55 \, \text{m} y arista de la base a = 450 \, \text{m}. Calcular su volumen.

1. Fórmula del volumen de una pirámide: V = \dfrac{1}{3} A_{\text{base}} \times h.
2. La base es un cuadrado de lado 450 \, \text{m}, por lo que su área es A_{\text{base}} = 450 \, \text{m} \times 450 \, \text{m} = 202\,500 \, \text{m}^{2}.
3. Sustituimos en la fórmula: V = \dfrac{1}{3} \left( 450 \, \text{m} \times 450 \, \text{m} \right) \times 55 \, \text{m}.
4. Calculamos primero el producto de la base: 450 \times 450 = 202\,500.
5. Multiplicamos por la altura: 202\,500 \times 55 = 11\,137\,500.
6. Dividimos entre 3: V = \dfrac{11\,137\,500}{3} = 3\,712\,500.

Respuesta: V = 3\,712\,500 \, \text{m}^{3}.

La Gran Pirámide de Cholula tiene alrededor de 3\,712\,500 \, \text{m}^{3} de volumen, lo que la convierte en el basamento piramidal de mayor volumen del mundo.

Ejemplo 4

Se busca calcular la medida que falta (d) de un cofre cuyo volumen es aproximadamente V = 2\,548.3 \, \text{cm}^{3}, con \pi \approx 3.14. Según la figura, el cofre está formado por un prisma rectangular de base 16 \, \text{cm} por d, altura 12 \, \text{cm}, y una tapa semicilíndrica de diámetro 16 \, \text{cm} sobre la cara superior.

1. Volumen del prisma rectangular: V_{\text{prisma}} = 16 \times d \times 12 = 192\,d.
2. Volumen de la mitad del cilindro (tapa): radio r = \dfrac{16}{2} = 8 \, \text{cm}, longitud = d, por lo que V_{\text{tapa}} = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} d = \dfrac{1}{2} (3.14)(8^{2}) d = \dfrac{1}{2}(3.14)(64)d = 100.48\,d.
3. Volumen total: V = V_{\text{prisma}} + V_{\text{tapa}} = 192\,d + 100.48\,d = 292.48\,d.
4. Igualamos al volumen dado: 292.48\,d = 2\,548.3.
5. Despejamos: d = \dfrac{2\,548.3}{292.48} \approx 8.71.

Respuesta: d \approx 8.7 \, \text{cm}.

(Nota: la interpretación de la figura como prisma rectangular más mitad de cilindro es la que permite despejar la profundidad d; si se asume otra composición, ajuste el modelo.)