Prisma: desarrollo plano de un prisma de bases triangulares

Teoría: Desarrollo plano de un prisma

En el caso de los prismas, sus desarrollos planos se componen de dos polígonos congruentes, denominados bases, y de sus caras laterales, las cuales serán rectángulos congruentes si las bases son polígonos regulares.

Ejemplo 1

Trazar el desarrollo plano del prisma de la imagen, el cual tiene como bases dos triángulos equiláteros congruentes.

Resolución:

1. Identificar la forma de las caras del prisma. Las bases son dos triángulos equiláteros con medidas de 30 \, \text{cm} por lado.
2. Las caras laterales son tres rectángulos, donde un lado mide 30 \, \text{cm} (lado del triángulo) y el otro mide 80 \, \text{cm} (altura o longitud del prisma).
3. Ubicar los polígonos en el plano de modo que coincidan con las uniones de las aristas: se colocan los tres rectángulos de 30 \, \text{cm} \times 80 \, \text{cm} consecutivos, compartiendo su lado mayor de 80 \, \text{cm}, y se adosan los dos triángulos equiláteros a un rectángulo, uno en la parte superior y otro en la inferior (en extremos opuestos).
4. Verificar los dos requisitos del desarrollo plano:
   • Las bases no comparten ninguna arista entre sí.
   • Los rectángulos de las caras laterales comparten su lado mayor (80 \, \text{cm}).

El desarrollo queda compuesto por: 2 triángulos equiláteros de 30 \, \text{cm} de lado y 3 rectángulos de 30 \, \text{cm} \times 80 \, \text{cm}.

Área total del desarrollo plano: A = 2 \cdot A_{\text{triángulo}} + 3 \cdot A_{\text{rectángulo}} A_{\text{triángulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (30)^{2} = 225\sqrt{3} \approx 389,7 \, \text{cm}^{2} A_{\text{rectángulo}} = 30 \times 80 = 2400 \, \text{cm}^{2} A = 2(225\sqrt{3}) + 3(2400) = 450\sqrt{3} + 7200 \approx 7979,4 \, \text{cm}^{2}

Respuesta: El desarrollo plano se forma por 2 triángulos equiláteros de 30 \, \text{cm} de lado y 3 rectángulos de 30 \, \text{cm} \times 80 \, \text{cm}, con área total aproximada de 7979,4 \, \text{cm}^{2}.