Desarrollo plano de un prisma de base hexagonal y de un prisma triangular rectángulo

Ejemplo 2

El desarrollo plano se compone de 6 rectángulos iguales y 2 hexágonos regulares congruentes; por tanto el poliedro es un prisma de base hexagonal.

1. Cuento las caras del desarrollo: hay 6 rectángulos idénticos (las caras laterales) y 2 hexágonos regulares congruentes entre sí (las bases).
2. Un poliedro con dos bases congruentes y paralelas y caras laterales rectangulares es un prisma.
3. Como las bases son hexágonos, el poliedro es un prisma de base hexagonal.

Respuesta: El poliedro es un prisma de base hexagonal.

Ejemplo 3

Obtener el desarrollo plano del prisma cuyas bases son triángulos rectángulos (base 40 cm, altura 30 cm, hipotenusa 50 cm, longitud 75 cm).

1. El poliedro es un prisma triangular rectángulo: sus bases son triángulos rectángulos y sus caras laterales son rectángulos.
2. Las bases son dos triángulos rectángulos congruentes con catetos de 40 \, \text{cm} y 30 \, \text{cm} e hipotenusa de 50 \, \text{cm}.
3. Cada cara lateral es un rectángulo cuyo lado corto es un lado del triángulo y cuyo lado largo es la altura del prisma, 75 \, \text{cm}:
   • sobre el cateto de 40 \, \text{cm}: rectángulo de 40 \, \text{cm} \times 75 \, \text{cm};
   • sobre el cateto de 30 \, \text{cm}: rectángulo de 30 \, \text{cm} \times 75 \, \text{cm};
   • sobre la hipotenusa de 50 \, \text{cm}: rectángulo de 50 \, \text{cm} \times 75 \, \text{cm}.
4. El desarrollo se forma colocando los tres rectángulos uno junto a otro (en fila) y uniendo cada triángulo rectángulo a uno de los extremos de la fila de rectángulos, en lados opuestos, de modo que al plegar los triángulos cierran el sólido.
5. Verificación de la unión de aristas: los catetos e hipotenusa de cada triángulo coinciden con los lados cortos de los rectángulos (40, 30, 50 \, \text{cm}) y los dos triángulos quedan en los extremos opuestos de los rectángulos de 75 \, \text{cm}.

Área total (suma de las cinco caras): A = 2\left(\frac{1}{2}(40)(30)\right) + 40(75) + 30(75) + 50(75) A = 1200 + 75(40+30+50) = 1200 + 75(120) = 1200 + 9000 = 10\,200 \, \text{cm}^{2}

Respuesta: El desarrollo plano tiene 5 caras: dos triángulos rectángulos (40 \times 30 \times 50 \, \text{cm}) y tres rectángulos de 40\times75, 30\times75 y 50\times75 \, \text{cm}; su área total es 10\,200 \, \text{cm}^{2}.

Nota complementaria (recuadro de la página)

Un sólido geométrico se puede construir a partir de su desarrollo plano, que es la representación plana de sus caras; gracias a él se calcula el área del sólido. El mismo cuerpo puede tener varios desarrollos distintos, pero debe verificarse que al plegar queden unidos correctamente sus vértices y aristas.