Cecilia Indira Huamancha Galarza, MINEDU

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Patrones generados por traslaciones en el plano cartesiano y frisos

📄 ejercicios matematica 🎓 primaria · 5° Primaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

1: A'(2, 10). 2.a: paso de +5 (patrón 1) y +4 (patrón 2) en x; forma y altura se conservan. 2.b: 5 espacios a la derecha, vector (5, 0). 2.c: A₁₃(67, 4); en el segundo patrón A₁₃(55, 1). 3: repetir la unidad básica con traslaciones horizontales de 4 unidades. 4-5: respuestas orientativas en la resolución.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 117

Texto de Matemática 5. Quinto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 1

Actividad previa, literal c): se pide hallar las coordenadas resultantes de mover el punto $A$ seis unidades en la dirección del eje $y$ .

Identificamos el punto de partida en la primera figura del patrón superior: $A(2, 4)$ .
El desplazamiento es vertical, así que solo cambia la ordenada: $y' = y + 6 = 4 + 6 = 10$ .
La abscisa permanece igual: $x' = 2$ .
Tabla del movimiento:

Posición	$x$	$y$
Original $A$	2	4
Trasladado $A'$	2	$4+6=10$

Al graficar, la figura completa sube 6 celdas: cada vértice $(x, y)$ pasa a $(x, y+6)$ ; el ancho y el alto no cambian.

Respuesta

$A'(2, 10)$ .

Ejercicio 2

Actividad sobre un patrón construido con figuras que se trasladan sucesivamente (dos versiones: cuadrado con triángulos y hexágono de triángulos).

Parte 2.a

Analizamos con una tabla qué varía y qué se conserva en cada repetición.

Patrón superior (coordenadas del punto $A$ ):

Figura	$n$	Coordenada de $A$	$x$
1	1	$(2, 4)$	2
2	2	$(7, 4)$	7
3	3	$(12, 4)$	12

Cambia: la abscisa aumenta de 5 en 5 ( $2, 7, 12, \dots$ ).
Se conserva: la forma, el tamaño, los colores, la altura ( $y = 4$ ) y la distancia entre los vértices de cada figura.

Patrón inferior: $A(3, 1)$ , $A_1(7, 1)$ , $A_2(11, 1)$ : la abscisa crece de 4 en 4 y la ordenada se mantiene en 1.

Respuesta

en el primer patrón el paso es $+5$ en $x$ ; en el segundo, $+4$ en $x$ ; la altura y la forma no cambian.

Parte 2.b

Ubicamos el punto $A(2, 4)$ de la figura 1: para obtener $A_1(7, 4)$ de la figura 2 debe trasladarse 5 espacios a la derecha, es decir, el vector de traslación es $(5, 0)$ .

Verificación: $7 - 2 = 5$ ; la ordenada se mantiene porque el movimiento es horizontal.

Respuesta

5 espacios en la dirección del eje $x$ (hacia la derecha), sin subir ni bajar.

Parte 2.c

Hallamos $A_{13}$ , el punto correspondiente a la figura 14. Como $A$ pertenece a la figura 1, hay 13 traslaciones de 5 unidades:

$x_{13} = 2 + 5 imes 13$
$x_{13} = 2 + 65 = 67$
La ordenada no cambia: $y = 4$

Para el patrón inferior, con paso 4 y punto inicial $(3, 1)$ : $x_{13} = 3 + 4 imes 13 = 3 + 52 = 55$ , con $y = 1$ .

Respuesta

en el primer patrón $A_{13}(67, 4)$ ; en el segundo, $A_{13}(55, 1)$ .

Ejercicio 3

Reproducción de los frisos de Chan Chan (Trujillo) en el plano cartesiano.

Dibujamos los ejes $x$ e $y$ con la misma escala y trazamos la unidad básica del friso (por ejemplo, la banda de rombos y la grecas, de 4 unidades de ancho).
Dibujamos la primera unidad en el intervalo $0 \leq x \leq 4$ .
Trasladamos esa unidad en la dirección del eje $x$ : $(x, y) \to (x + 4k, y)$ con $k = 1, 2, 3, \dots$
Repetimos hasta llenar la banda; la altura de cada elemento y su forma permanecen intactas.
Para formar el friso horizontal basta elegir un punto guía, por ejemplo $(1, 3)$ , y calcular sus imágenes $(5, 3)$ , $(9, 3)$ , $(13, 3)$ , …

Respuesta orientativa: el friso se obtiene repitiendo una unidad básica mediante traslaciones horizontales de una cantidad fija (4 unidades en el ejemplo); la forma y la altura se conservan.

Ejercicio 4

Investigación de otros monumentos con patrones de repetición por traslación.

Respuesta orientativa: ejemplos: las greca y step-frieze de Chan Chan, los muros de Machu Picchu, la Alhambra de Granada, los azulejos de Tenochtitlán y las fachadas mudéjares. En todos, una unidad geométrica se repite en la misma dirección; se identifica la unidad, se mide el paso de traslación y se describe qué cambia (posición) y qué se conserva (forma y tamaño).

Ejercicio 5

Preguntas de reflexión sobre la estrategia usada.

Respuesta orientativa: para hallar un término desconocido se identificó el patrón numérico del desplazamiento (el "paso"), se verificó con los primeros términos y se aplicó la regla $x_n = x_1 + p(n-1)$ . Conviene usar esta estrategia cuando debemos predecir elementos muy alejados de una secuencia, una sucesión o un friso, ya que calcular el término directamente ahorra dibujar toda la serie.

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