Completar figuras simétricas y reflexiones en el plano cartesiano

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Texto de Matemática 5. Quinto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 5

Completar dos figuras a partir de su mitad, tomando como guía el eje de simetría marcado en cada cuadrícula.

Parte 5.a

Eje vertical

Identifico el eje: es la recta roja vertical que pasa por $x = 5$ . Todo punto que está sobre esa recta es su propio simétrico.
La simetría respecto de una recta vertical $x = a$ transforma cada punto $(x, y)$ en $(2a - x, y)$ . Aquí $a = 5$ , por lo tanto $(x, y) \rightarrow (10 - x, y)$ : la altura $y$ se conserva y la coordenada $x$ cambia de lado conservando la misma distancia al eje.
Leo los vértices de la mitad dibujada en la cuadrícula (valores aproximados): $A(5,8)$ , $B(1,6)$ , $C(3,4)$ , $D(1,2)$ , $E(5,1)$ .
Aplico la regla a cada vértice:

Vértice original	Operación	Vértice simétrico
$A(5,8)$	$10-5=5$	$A'(5,8)$ (está en el eje)
$B(1,6)$	$10-1=9$	$B'(9,6)$
$C(3,4)$	$10-3=7$	$C'(7,4)$
$D(1,2)$	$10-2=8$	$D'(9,2)$
$E(5,1)$	$10-5=5$	$E'(5,1)$ (está en el eje)
5. Marco los puntos nuevos y los uno en el mismo orden de la mitad original, cerrando el trazo en $A'$ y $E'$ .

Respuesta

la figura completa se obtiene uniendo la mitad dada con los vértices $A'(5,8)$ , $B'(9,6)$ , $C'(7,4)$ , $D'(9,2)$ , $E'(5,1)$ : es la copia espejo respecto de la recta $x = 5$ .

Parte 5.b

Eje diagonal

Identifico el eje: es la recta roja inclinada de pendiente $1$ , que pasa aproximadamente por $(2,0)$ y $(10,8)$ , es decir, $y = x - 2$ .
La simetría respecto de una recta $y = x + c$ intercambia los papeles de $x$ y $y$ : $(x, y) \rightarrow (y - c, x + c)$ . Con $c = -2$ la regla queda $(x, y) \rightarrow (y + 2,\; x - 2)$ .
Compruebo con un punto del propio eje: $P(5,3)$ cumple $3 = 5 - 2$ , y al aplicar la regla obtengo $(3 + 2,\; 5 - 2) = (3,5)$ , que también está sobre la recta. Correcto.
Aplico la regla a los vértices de la mitad verde (lectura aproximada de la cuadrícula): por ejemplo, $(6,8) \rightarrow (8+2,\; 6-2) = (10,4)$ y $(9,8) \rightarrow (8+2,\; 9-2) = (10,7)$ . Cada vértice se refleja de la misma forma: se mantiene la misma distancia perpendicular al eje, pero del lado opuesto.
Marco los puntos reflejados y los uno siguiendo el mismo orden de la poligonal original.

Respuesta

la figura queda completada como la copia espejo de la mitad verde respecto de la diagonal; la segunda mitad se ubica abajo y a la derecha del eje, con cada punto a igual distancia de la recta $y = x - 2$ .

Ejercicio 6

(Reflexiona)

Parte 6.a

¿En qué situaciones te puede servir el plano cartesiano?

Sirve para ubicar posiciones con dos datos: la columna ( $x$ ) y la fila ( $y$ ).
Se usa en mapas, en diagramas de dispersión, en gráficos de datos, en dibujo asistido por computadora y en videojuegos.

Respuesta orientativa: el plano cartesiano es útil cuando necesito describir la posición exacta de algo con dos valores, por ejemplo al ubicar ciudades en un mapa con coordenadas, al grafificar resultados de una encuesta o al programar el movimiento de un personaje en un juego.

Parte 6.b

¿Qué se aprende sobre simetría y reflexión?

Respuesta orientativa: la reflexión produce una copia espejo: cada punto queda a la misma distancia del eje pero en el lado contrario, de modo que la figura original y su reflejo son congruentes (mismo tamaño y forma), aunque la orientación del dibujo se invierte.

Parte 6.c