Traslación de figuras en el plano cartesiano

📄 ejercicios matematica 🎓 primaria · 5° Primaria Perú 🇵🇪 PE 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ej. 2: barco 1→2: (x, y+5), solo sube 5; barco 1→3: (x+11, y+4), 11 a la derecha y 4 arriba. Ej. 3: (x−7, y−4), 7 izquierda y 4 abajo. Reto: sumar N unidades a x. Reflexiona: comparar coordenadas, aplicar cambio uniforme, redibujar.

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Solución — Página 115

Texto de Matemática 5. Quinto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 2

Actividad: trasladar un barquito a dos posiciones distintas y analizar el cambio de coordenadas de sus vértices.

Lectura de coordenadas iniciales (barco 1, azul): A(1, 2), B(1, 5), E(1, 6), D(3, 6), C(3, 5), F(4, 7), H(5, 6), I(5, 5), G(6, 6), J(8, 5), K(7, 2).

Parte 2.a

Traslación del barco 1 al barco 2 (rojo)

Se compara un punto común, por ejemplo A(1, 2) del barco 1 con A₁(1, 8) del barco 2.
Cambio en x: $1 - 1 = 0$ unidades; no hay desplazamiento horizontal.
Cambio en y: $8 - 2 = 6$ unidades hacia arriba.
Comprobación con otro punto: E(1, 6) pasa a E₁(1, 11); efectivamente $11 - 6 = 5$ ... verificando con B(1, 5) → B₁(1, 10): $10 - 5 = 5$ . Observando la figura, el barco 2 está desplazado 5 unidades hacia arriba respecto del barco 1 (y A(1,2) → A₁(1,7) en la gráfica real).

Ajustando con la lectura directa de la imagen: el barco 2 se obtiene sumando 5 unidades al valor de y de cada punto: $(x, y) \rightarrow (x, y+5)$ .

Respuesta

Todas las coordenadas x se mantienen iguales y las coordenadas y aumentan en 5 unidades: $(x, y) \rightarrow (x, y+5)$ .

Parte 2.b

Traslación del barco 1 al barco 3 (verde)

Se compara A(1, 2) del barco 1 con A₂(12, 6) del barco 3.
Cambio en x: $12 - 1 = 11$ unidades a la derecha.
Cambio en y: $6 - 2 = 4$ unidades hacia arriba.
Comprobación con K(7, 2) → K₂(18, 6): $18 - 7 = 11$ y $6 - 2 = 4$ . ✓

Respuesta

Cada punto se desplaza 11 unidades a la derecha y 4 unidades arriba: $(x, y) \rightarrow (x+11, y+4)$ .

Parte 2.c

Tabla de coordenadas (actividad complementaria)

Punto	Barco 1 (x, y)	Barco 2 (x, y+5)	Barco 3 (x+11, y+4)
A	(1, 2)	(1, 7)	(12, 6)
B	(1, 5)	(1, 10)	(12, 9)
E	(1, 6)	(1, 11)	(12, 10)
D	(3, 6)	(3, 11)	(14, 10)
F	(4, 7)	(4, 12)	(15, 11)
G	(6, 6)	(6, 11)	(17, 10)
J	(8, 5)	(8, 10)	(19, 9)
K	(7, 2)	(7, 7)	(18, 6)

Explicación de las traslaciones: la primera es un desplazamiento puramente vertical de 5 unidades hacia arriba; la segunda combina movimiento horizontal (11 a la derecha) y vertical (4 hacia arriba). En ambos casos todos los puntos se mueven igual, por eso la figura conserva su forma y tamaño.

Ejercicio 3

Actividad: trasladar un cohete a partir de dos puntos de referencia A → A₁ y B → B₁.

Identificar los puntos de origen en el cohete: A(9, 6) y B(9, 8).
Identificar los puntos de destino dados en la gráfica: A₁(2, 2) y B₁(2, 4).
Calcular el desplazamiento horizontal: $2 - 9 = -7$ (7 unidades a la izquierda).
Calcular el desplazamiento vertical: $2 - 6 = -4$ (4 unidades hacia abajo); verificando con B: $4 - 8 = -4$ ✓.
Regla de traslación: $(x, y) \rightarrow (x - 7, y - 4)$ .
Aplicar a los demás vértices del cohete: E(9, 11) → (2, 7), D(11, 11) → (4, 7), F(12, 13) → (5, 9), G(15, 11) → (8, 7), H(13, 11) → (6, 7), C(11, 8) → (4, 4), I(13, 8) → (6, 4), J(15, 8) → (8, 4), L(12, 7) → (5, 3), K(15, 6) → (8, 2).
Se traza el cohete nuevo uniendo estos puntos trasladados en el cuaderno.

Comparación de A con A₁ y B con B₁: al pasar de A(9, 6) a A₁(2, 2) la coordenada x se redujo en 7 y la y en 4; igualmente B(9, 8) → B₁(2, 4). En todo par de puntos trasladados, la diferencia entre sus coordenadas es constante: $x_1 - x = -7$ e $y_1 - y = -4$ .

Aceptamos el reto

Se copia el diseño (la figura tipo estrella/flor verde y roja) en una hoja cuadriculada. Supongamos que el diseño original ocupa los vértices aproximados (1, 1), (1, 3), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (3, 6), (4, 6)...
Se elige un desplazamiento, por ejemplo 6 unidades a la derecha: $(x, y) \rightarrow (x+6, y)$ .
Se suman 6 a cada coordenada x del diseño y se grafican los puntos nuevos, manteniendo iguales las coordenadas y.
Se une los puntos para obtener una copia idéntica del diseño, corrida solo horizontalmente.
Se explica a los compañeros: "Trasladé cada punto 6 unidades a la derecha, sin subir ni bajar; por eso el diseño quedó igual, solo más a la derecha".

Respuesta: Cualquier número de unidades a la derecha funciona; se debe sumar esa misma cantidad a todas las coordenadas x y dejar y sin cambios.

Reflexiona

¿Qué proceso seguiste? Primero localicé las coordenadas de los puntos de la figura original; luego calculé cuánto debían cambiar x e y comparando un punto con su imagen; después apliqué ese mismo cambio a todos los puntos y finalmente tracé la figura nueva uniendo los vértices trasladados.

¿En qué situaciones te puede servir? Sirve para diseñar patrones de tela o bordados, armar mosaicos, colocar figuras en un plano de una sala o cancha, mover piezas en un tablero de juego y resolver problemas de ubicación en mapas o croquis.

Respuesta

El cohete se traslada 7 unidades a la izquierda y 4 hacia abajo: $(x, y) \rightarrow (x-7, y-4)$ . La relación es que ambas coordenadas cambian siempre en la misma cantidad en todos los puntos.

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