Ampliamos y reducimos figuras de forma proporcional

Cálculo del área y del perímetro del cuadrado original de 2 \, \text{cm} de lado.

1. El área de un cuadrado se obtiene multiplicando el lado por sí mismo: A = l \times l.
2. Sustituyo l = 2 \, \text{cm}: A = 2 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm}^{2}.
3. El perímetro es la suma de los cuatro lados iguales: P = 4 \times l.
4. Sustituyo: P = 4 \times 2 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}.

Explicación del procedimiento de Íkam y Nancy (para comentar con un compañero).

1. Íkam dibuja primero el cuadrado ABCD de 2 \, \text{cm} sobre una cuadrícula.
2. Para ampliarlo al doble, cada lado crece al doble: 2 \, \text{cm} \times 2 = 4 \, \text{cm}, y así obtiene el cuadrado A'B'C'D' con lado de 4 \, \text{cm}, con la misma forma que el original.
3. Nancy organiza los datos en una tabla de proporcionalidad y compara las columnas de área y de perímetro.
4. En la tabla se leen las relaciones multiplicativas: los lados se multiplican por 2 (2 \to 4), el perímetro también por 2 (8 \to 16) y el área por 4 (4 \to 16).
5. Conclusión que se puede explicar: al duplicar las longitudes de una figura, su perímetro se duplica y su área se multiplica por 2 \times 2 = 4.

Respuesta orientativa: "Dibujé el cuadrado de 2 \, \text{cm}, luego tracé otro con cada lado del doble (4 \, \text{cm}). Al comparar, el pasó de 8 \, \text{cm} a 16 \, \text{cm} (se duplicó) y el área de 4 \, \text{cm}^{2} a 16 \, \text{cm}^{2} (se cuadruplicó), porque 4 = 2^{2}."

1. Área inicial: A = 4 \, \text{cm}^{2}.
2. Área de la figura ampliada: A' = 4 \, \text{cm} \times 4 \, \text{cm} = 16 \, \text{cm}^{2}.
3. Comparo ambas áreas: \dfrac{A'}{A} = \dfrac{16}{4} = 4.
4. El aumento es 16 - 4 = 12 \, \text{cm}^{2}, es decir, cuatro veces el área inicial.

1. Perímetro inicial: P = 8 \, \text{cm}.
2. Perímetro de la figura ampliada: P' = 4 \times 4 \, \text{cm} = 16 \, \text{cm}.
3. Comparo: \dfrac{P'}{P} = \dfrac{16}{8} = 2.

1. Área grande A' = 16 \, \text{cm}^{2}; área inicial A = 4 \, \text{cm}^{2}.
2. 16 = 4 \times 4, por lo tanto A' = 4 \times A.
3. Regla general: si los lados se multiplican por k, el área se multiplica por k^{2}. Aquí k = 2, entonces k^{2} = 2^{2} = 4.

Tabla de proporcionalidad (comprobación):