Ejercicio 1
(cometas en cuadrícula)
Sobre papel cuadriculado (1 cuadro = 1 m de lado) se dibujan tres cometas; se pide el área total de papel y el reparto por color.
Parte 1.a
- Observo que cada figura es un paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos y del mismo largo.
- Los ángulos opuestos son iguales: hay dos ángulos agudos y dos obtusos (los agudos valen cerca de 60^\circ y los obtusos cerca de 120^\circ).
- Estimo por la cuadrícula: en la primera cometa, un lado mide unos 3 \, \text{m} y el otro unos 5 \, \text{m}; la altura perpendicular es de 3 \, \text{m}.
- Las tres figuras pueden descomponerse en triángulos y rectángulos que caben en un rectángulo de la misma base y altura.
Respuesta
Son paralelogramos con lados opuestos paralelos e iguales y ángulos opuestos iguales; estimación de la primera cometa: lados de 3 \, \text{m} y 5 \, \text{m}, ángulos de 60^\circ y 120^\circ.
Parte 1.b
- Dibujo la figura en la cuadrícula y la divido en tres piezas: un triángulo azul, un rectángulo amarillo y un triángulo rojo.
- Recorto el triángulo azul (base 2 \, \text{m}, altura 3 \, \text{m}): A = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \, \text{m}^{2}.
- Lo muevo al lado derecho; junto con el triángulo rojo (también de 3 \, \text{m}^{2}) forman un rectángulo de 2 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}.
- Las tres piezas quedan ordenadas en un rectángulo de 5 \, \text{m} de base y 3 \, \text{m} de altura.
- Como no sobra ni falta papel, el área de la cometa es la del rectángulo formado: A = 3 \times 5 = 15 \, \text{m}^{2}.
Respuesta orientativa: Al recortar el triángulo y recolocarlo se obtiene un rectángulo de 3 \, \text{m} \times 5 \, \text{m}, por lo que se necesitan 15 \, \text{m}^{2} de papel.
Parte 1.c
(papel de cada color)
- Rectángulo amarillo: mide 3 \, \text{m} por 3 \, \text{m}, entonces A_{\text{amarillo}} = 3 \times 3 = 9 \, \text{m}^{2}.
- Triángulo rojo: base 2 \, \text{m}, altura 3 \, \text{m}, A_{\text{rojo}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \, \text{m}^{2}.
- Triángulo azul: mismo cálculo, A_{\text{azul}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \, \text{m}^{2}.
- Compruebo: 9 + 3 + 3 = 15 \, \text{m}^{2}, que coincide con el área total.
- ¿Los dos triángulos forman un rectángulo? Sí: al unir sus hipotenusas quedan dos pares de lados iguales y los ángulos son rectos; el rectángulo resultante mide 2 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} = 6 \, \text{m}^{2}, justo la suma 3 + 3.
Respuesta
Amarillo 9 \, \text{m}^{2}, rojo 3 \, \text{m}^{2} y azul 3 \, \text{m}^{2}; los dos triángulos sí forman un rectángulo de 6 \, \text{m}^{2}.
Parte 1.d
(conclusión con dos ejemplos)
- El razonamiento permite afirmar: el área de un romboide es igual al área de un rectángulo con la misma base y la misma altura, es decir, A = b \times h.
- Ejemplo 1: paralelogramo de base 4 \, \text{m} y altura 3 \, \text{m}. A = 4 \times 3 = 12 \, \text{m}^{2}; el rectángulo equivalente 4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m} también da 12 \, \text{m}^{2}.
- Ejemplo 2: paralelogramo de base 7 \, \text{m} y altura 2 \, \text{m}. A = 7 \times 2 = 14 \, \text{m}^{2}; el rectángulo 7 \, \text{m} \times 2 \, \text{m} también da 14 \, \text{m}^{2}.
- En ambos casos el triángulo que sobresale por un lado es congruente al hueco del otro lado, por eso las áreas coinciden.
Respuesta
A = b \times h; comprobado con (4 \times 3 = 12 \, \text{m}^{2}) y (7 \times 2 = 14 \, \text{m}^{2}).
