Ejercicio 2
Se pide reducir a escala \frac{1}{2} una cruz trazada en cuadrícula, conservando su forma, y analizar cómo cambian área y perímetro.
Parte 2.a
- La cruz grande se inscribe en un cuadro de 8 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm}; en cada esquina falta un cuadrado de 2 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm}.
- Área del cuadro completo: 8 \times 8 = 64 \, \text{u}^{2}.
- Área de las 4 esquinas: 4 \times (2 \times 2) = 4 \times 4 = 16 \, \text{u}^{2}.
- Área de la figura inicial: 64 - 16 = 48 \, \text{u}^{2}.
- Como todos los lados se dividen entre 2, el factor de escala es k = \frac{1}{2} y el área cambia por k^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}.
- Área esperada de la cruz reducida: 48 \times \frac{1}{4} = 12 \, \text{u}^{2}.
- Comprobación directa con los lados ya reducidos (2 \, \text{cm} y 1 \, \text{cm}): (4 \times 4) - 4 \times (1 \times 1) = 16 - 4 = 12 \, \text{u}^{2}.
Respuesta
área inicial 48 \, \text{u}^{2}; área reducida 12 \, \text{u}^{2}, es decir la cuarta parte, porque el área varía con el cuadrado del factor de escala.
Parte 2.b
- Estrategia de Nancy: copiar la cruz en la cuadrícula, leer las medidas de los segmentos (4 \, \text{cm} y 2 \, \text{cm}) y volver a trazar cada segmento con la mitad de su longitud (2 \, \text{cm} y 1 \, \text{cm}).
- Estrategia de Gabriel: ordenar los datos en una tabla de proporcionalidad, calcular perímetro y área de cada versión y comparar los resultados fila por fila.
Respuesta orientativa: se puede operar por dibujo (mitad de cada lado sobre la cuadrícula) o por cálculo (tabla de proporcionalidad con las medidas divididas entre 2).
Parte 2.c
Cruz grande
- Perímetro: hay 4 segmentos de 4 \, \text{cm} y 8 de 2 \, \text{cm}: 4 \times 4 + 8 \times 2 = 16 + 16 = 32 \, \text{cm}.
- Área: ya calculada, 48 \, \text{u}^{2}.
Cruz pequeña (completar la tabla)
- Sus lados son la mitad: 2 \, \text{cm} y 1 \, \text{cm}.
- Perímetro: 4 \times 2 + 8 \times 1 = 8 + 8 = 16 \, \text{cm}.
- Área: (4 \times 4) - (2 \times 2) = 16 - 4 = 12 \, \text{u}^{2}.
Comparaciones pedidas
- Perímetro: \frac{16}{32} = \frac{1}{2}; se cumple que la cruz pequeña tiene la mitad de perímetro: sí estoy de acuerdo.
- Área: \frac{12}{48} = \frac{1}{4}; no baja a la mitad sino a la cuarta parte, ya que \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}.
- En la idea de Nancy: el perímetro se redujo a la mitad (32 \to 16 \, \text{cm}) y el área a la cuarta parte (48 \to 12 \, \text{u}^{2}).
Respuesta
perímetro pequeño 16 \, \text{cm} y área pequeña 12 \, \text{u}^{2}; el perímetro se reduce a la mitad y el área a la cuarta parte.
