Patrones numéricos: reglas de formación 2×n y 2×n−1

Se pide escribir la expresión matemática que permite calcular el valor de la décima figura del patrón trabajado en la idea de Susana.

1. La regla detectada en la tabla es: valor = 2 veces el número de la figura, es decir v = 2 \times n.
2. Sustituyo n = 10: 2 \times 10.
3. Calculo el producto: 2 \times 10 = 20.

Se pide calcular el valor de la figura con n = 15 y dibujarla.

1. Uso la misma regla v = 2 \times n.
2. Sustituyo n = 15: v = 2 \times 15.
3. Obtengo v = 30.
4. Para dibujar: cada figura está formada por regletas; la figura 15 se representa con regletas cuya suma de unidades da 30, por ejemplo 15 regletas de 2 unidades, o bien una regleta de 30 unidades. Los valores siguen la secuencia 2, 4, 6, …, 30.

Se pregunta si existe una figura cuyo valor sea 51.

1. Planteo la ecuación 2 \times n = 51.
2. Despejo: n = \dfrac{51}{2} = 25{,}5.
3. El número de figura debe ser un número natural (1, 2, 3, …); 25,5 no lo es.
4. Además, todos los valores de este patrón son pares y 51 es impar, así que no puede aparecer.

En el segundo patrón (figuras construidas con fichas rojas) se pide el valor de la figura 9 y su dibujo.

1. Observo los valores ya dados: figura 1 = 1, figura 2 = 3, figura 3 = 5, figura 4 = 7.
2. Reconozco la secuencia: 1, 3, 5, 7, … (números impares), donde cada valor aumenta de 2 en 2.
3. Uso la regla v = 2 \times n - 1 con n = 9.
4. Sustituyo: v = 2 \times 9 - 1 = 18 - 1 = 17.
5. Para dibujar la figura 9 se usan 17 fichas rojas siguiendo la misma forma de las figuras anteriores.

Completo las casillas faltantes con la expresión 2 \times n - 1:

1. Compruebo con la fila ya completa: n=4 \Rightarrow 2\times4-1=7 ✓.
2. La regla de formación es v = 2n - 1.

Analizo las tres opiniones de los niños:

1. Quien dice que el patrón se forma con números impares tiene razón en la observación: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17… son todos impares, pero no explica la regla con n.
2. Quien propone 2n + 1 se equivoca: para n=1 daría 2\times1+1=3, y la figura 1 vale 1; para n=4 daría 2\times4+1=9, y la figura 4 vale 7.
3. Quien propone 2n - 1 tiene razón: con n=1, 2\times1-1=1; con n=4, 2\times4-1=7; con n=9, 2\times9-1=17, que coinciden con la tabla.