— Reparto de frutos en bolsitas (casi 50 unidades)
Dos estudiantes recolectan aguaymanto y lo entregan en bolsitas: una embolsa de a 3 frutos y la otra de a 5, siempre sin que sobre nada y con un total cercano a 50 frutos. Se pide determinar cuántos frutos recogió cada uno y cuántas bolsitas armó cada quien.
Planteamiento: no se conoce el total exacto recogido por cada quien; solo sabemos que es menor que 50 y muy cercano a 50. Por lo tanto se formulan hipótesis.
- Para quien embolsa de a 3, cualquier cantidad de la forma 3 \times n es posible: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, \ldots
- Para quien embolsa de a 5, cualquier cantidad de la forma 5 \times m es posible: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, \ldots
- Hipótesis cercanas a 50 sin pasarse: 45 y 48 para las bolsitas de 3; 45 y 40 (o 50) para las de 5.
- Como el total debe ser "casi 50" y no debe sobrar nada, se elige la hipótesis mayor sin superar 50.
se puede suponer, por ejemplo, 45 o 48 frutos para quien embolsa de a 3, y 45 frutos para quien embolsa de a 5; solo una de esas hipótesis se confirmará al final.
Sí hay varias posibilidades, porque cada total admite más de un reparto.
- Con total 45 y bolsitas de 3: 45 \div 3 = 15 bolsitas.
- Con total 48 y bolsitas de 3: 48 \div 3 = 16 bolsitas.
- Con total 45 y bolsitas de 5: 45 \div 5 = 9 bolsitas.
- Con total 50 y bolsitas de 5: 50 \div 5 = 10 bolsitas.
En cada caso el residuo es cero, que es justamente la condición de "que no sobre nada".
las posibilidades son (3,15), (3,16), (5,9) y (5,10) en forma (tamaño de bolsita, número de bolsitas), siempre que el residuo de la división sea 0.
— Idea de quien embolsa de a 3
- Las cantidades que se pueden embolsar son 3, 6, 9, 12, 15, \ldots, es decir, los múltiplos de 3.
- En la cuadrícula del 1 al 48, los múltiplos de 3 aparecen resaltados: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48.
- Se busca el factor que multiplicado por 3 dé casi 50: \square \times 3 = 48, luego \square = 48 \div 3 = 16.
- Verificación: 16 \times 3 = 48 y 48 \div 3 = 16.
recogió 48 frutos y armó 16 bolsitas (16 \times 3 = 48).
— Idea de quien embolsa de a 5
- Las bolsitas de 5 producen: 1 \times 5 = 5, 2 \times 5 = 10, 3 \times 5 = 15, 4 \times 5 = 20, \ldots
- Se busca el factor tal que \square \times 5 = 45, luego \square = 45 \div 5 = 9.
- Verificación: 9 \times 5 = 45 y 45 \div 5 = 9; el residuo es 0.
recogió 45 frutos y armó 9 bolsitas (9 \times 5 = 45).
— ¿Cuándo un número es múltiplo de 5?
- Un número es múltiplo de 5 si resulta de multiplicar 5 por un número natural.
- Equivale a decir que su división entre 5 tiene residuo cero.
n es múltiplo de 5 si existe un natural k con n = 5 \times k; todos terminan en 0 o en 5.
— Regularidad observada
- Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, \ldots
- Cada uno aumenta 5 respecto del anterior (salto constante).
crecen de 5 en 5 y siempre terminan en 0 o en 5.
— ¿Cuántos múltiplos de 5 existen?
- No hay un último múltiplo de 5: para cualquier múltiplo 5k siempre existe 5(k+1).
- Por lo tanto la lista es infinita.
existen infinitos múltiplos de 5.
