Construimos triángulos según sus lados y sus ángulos

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Respuesta rápida

a) No son iguales: cambian las longitudes de sus lados. b) Al trasladar los saltos se reproducen triángulos congruentes. c) Tres lados distintos: escaleno; dos iguales: isósceles; sin tres iguales: no equilátero. e) Porque la altura incluye √3 y no cae en la retícula.

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 66

Texto de Matemática 6. Sexto grado de Primaria · 2024

Ejercicio 1

Investigación en geoplano: se observan tres figuras formadas por segmentos y se pide identificarlas, compararlas, reproducirlas, explicar los razonamientos de otros estudiantes y justificar por qué un triángulo equilátero no se puede dibujar sobre una retícula cuadrada.

Ejercicio 1

Pregunta inicial: ¿cómo se llaman las figuras?

Cada figura está formada por tres segmentos que se unen en tres vértices.
Una figura plana cerrada de tres lados y tres ángulos se llama triángulo.
Las tres figuras del geoplano son, por tanto, triángulos (uno verde, uno azul y uno rojo).

Respuesta: son triángulos.

Parte 1.a

¿Son iguales esos triángulos? ¿En qué se diferencian?

Cuento las unidades de la retícula para medir cada lado del triángulo verde: los tres valores son distintos.
En el triángulo azul dos lados miden $3$ unidades y el tercero mide $\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx 4,24$ unidades.
En el triángulo rojo la base mide $4$ unidades y los otros dos lados son iguales entre sí.
Como las longitudes no coinciden en los tres casos, tampoco coinciden sus perímetros ni sus áreas.
Conclusión: no son iguales; se diferencian en la longitud de sus lados y, por tanto, en su forma y tamaño.

Respuesta

No son iguales: cada triángulo tiene longitudes de lado diferentes, por lo que cambian su forma, su perímetro y su área.

Parte 1.b

Reproduce los triángulos en una hoja cuadriculada

Dibujo una cuadrícula y marco los puntos (vértices) con los mismos saltos horizontales y verticales que aparecen en el geoplano.
Uno los puntos con el instrumento para formar los tres lados.
Verifico midiendo: el primero debe tener tres lados de medida distinta; el segundo, dos lados de $3$ unidades; el tercero, una base de $4$ unidades con dos lados iguales.
Comparo mi dibujo con el del libro para confirmar que los lados corresponden.

Respuesta

Al trasladar los mismos saltos a la cuadrícula se obtienen triángulos congruentes con los del geoplano.

Parte 1.c

Explica con tus palabras los razonamientos de los niños

La primera niña mide los tres lados y observa que ninguno se repite; además, al ordenarlos de menor a mayor forman una "escalera". Como los tres lados son distintos, clasifica la figura como triángulo escaleno.
El segundo niño mide dos lados y encuentra que ambos valen $3$ unidades; aplica el criterio de que basta con dos lados iguales para que el triángulo sea isósceles.
La tercera niña se pregunta si los tres lados son iguales, comprueba que no lo son y concluye por eliminación que no es equilátero (aunque sí podría ser isósceles).
En conjunto, muestran cómo la medición lleva a una clasificación justificada, no a una suposición.

Respuesta

Los tres razonamientos comparan longitudes: tres lados distintos → escaleno; dos lados iguales → isósceles; y si faltan lados iguales, no puede ser equilátero.

Parte 1.d

Construye otros triángulos y explica sus características

Marco los puntos $(0,0)$ , $(4,0)$ y $(0,3)$ en la cuadrícula.
Mido: los catetos miden $4$ y $3$ unidades, y la hipotenusa vale $\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$ unidades.
Como los tres lados son distintos ( $3$ , $4$ y $5$ ) y un ángulo mide $90^{\circ}$ , es un triángulo rectángulo escaleno.
Ahora marco $(0,0)$ , $(4,0)$ y $(2,3)$ : los lados iguales miden $\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$ , así que es isósceles acutángulo.
Describo al compañero la medida de cada lado y el tipo de ángulos (agudo, recto u obtuso).

Respuesta

Se pueden crear triángulos de lados $3$ – $4$ – $5$ (rectángulo escaleno) y triángulos isósceles, indicando en cada caso la longitud de sus lados y la clase de sus ángulos.

Parte 1.e

¿Por qué en el geoplano cuadrado no se pueden construir triángulos equiláteros?

En una retícula cuadrada la distancia entre dos puntos es $d=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , con $a$ y $b$ números enteros, por eso el valor $\sqrt{2}\approx 1,41$ (diagonal de un cuadrado de lado $1$ ) nunca cae exactamente sobre un punto.
Si un triángulo equilátero tuviera sus vértices en la retícula, su área valdría $A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^{2}$ , y como $s^{2}$ sería un número entero, $\sqrt{3}$ haría que el área fuera un número irracional.
Sin embargo, para vértices en una retícula el teorema de Pick garantiza que el área es $A=I+\dfrac{B}{2}-1$ , es decir, siempre un número racional (múltiplo de $0{,}5$ ).
Se obtiene una contradicción: la área debería ser irracional y racional al mismo tiempo.
Por eso el vértice superior nunca coincide con un punto de la retícula y el triángulo equilátero es imposible de dibujar allí (aunque sí se puede trazar con compás).

Respuesta

Porque la altura de un triángulo equilátero involucra el factor $\sqrt{3}$ y las distancias de la retícula cuadrada no pueden igualar esa longitud: sus vértices nunca coincidirían con los puntos del geoplano.

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